Konsep barisan aritmatika adalah salah satu fondasi utama dalam matematika, khususnya aljabar dan kalkulus diskrit. Barisan ini dicirikan oleh pola penambahan yang konsisten antara setiap suku yang berurutan. Ketika kita 'diketahui barisan aritmatika', ini berarti kita memiliki informasi esensial yang memungkinkan kita memprediksi suku mana pun dalam urutan tersebut, atau menghitung total penjumlahan dari sejumlah suku awal. Pemahaman mendalam tentang komponen, rumus, dan sifat-sifatnya adalah kunci untuk menguasai berbagai persoalan matematika, mulai dari yang sederhana hingga aplikasi kompleks di dunia nyata.
Barisan aritmatika, atau dikenal juga sebagai deret hitung, adalah suatu urutan bilangan di mana selisih antara suku yang satu dengan suku sebelumnya selalu tetap atau konstan. Selisih konstan inilah yang menjadi karakteristik paling penting dan disebut sebagai beda (atau selisih umum).
Setiap bilangan dalam barisan disebut sebagai suku. Secara umum, notasi yang digunakan adalah:
Beda ($b$) adalah nilai kunci yang menentukan pertumbuhan barisan. Beda dihitung dengan mengurangi suku setelahnya dengan suku sebelumnya. Sifat beda ini harus selalu sama, tidak peduli di mana posisi perhitungan dilakukan dalam barisan tersebut.
Nilai $b$ dapat berupa bilangan positif, negatif, atau nol. Sifat barisan akan bergantung pada nilai $b$:
Visualisasi Barisan Aritmatika: Kenaikan Linear Diskrit
Ketika kita 'diketahui barisan aritmatika' melalui suku pertama ($a$) dan beda ($b$), rumus suku ke-$n$ ($U_n$) adalah alat fundamental yang memungkinkan kita menghitung nilai suku pada posisi mana pun tanpa harus menghitung seluruh barisan secara manual. Rumus ini diturunkan berdasarkan pola penambahan berulang:
Dari pola di atas, kita lihat bahwa koefisien $b$ selalu satu kurang dari nomor suku ($n$).
Di mana:
Seringkali, soal tidak langsung memberikan $a$ dan $b$, tetapi memberikan dua suku sembarang, misalnya $U_p$ dan $U_q$. Untuk menyelesaikan kasus ini, kita harus menggunakan sistem persamaan linear dua variabel.
Misalnya diketahui $U_5 = 17$ dan $U_{12} = 38$.
$(a + 11b) - (a + 4b) = 38 - 17$
$7b = 21 \implies b = 3$
$a + 4(3) = 17 \implies a + 12 = 17 \implies a = 5$
Setelah $a=5$ dan $b=3$ diketahui, barisan aritmatika tersebut sepenuhnya terdefinisi, dan kita bisa mencari $U_n$ mana pun.
Pendekatan yang lebih cepat untuk mencari $b$ adalah mengenali bahwa selisih antara dua suku, $U_p$ dan $U_q$, selalu merupakan kelipatan dari $b$:
Menggunakan contoh di atas ($U_{12}=38$ dan $U_5=17$):
$38 - 17 = (12 - 5)b$
$21 = 7b \implies b = 3$.
Metode ini sangat efisien ketika hanya $b$ yang perlu dicari, atau sebagai langkah awal sebelum mencari $a$.
Berbeda dengan barisan yang merupakan urutan bilangan, deret aritmatika adalah hasil penjumlahan dari suku-suku barisan aritmatika tersebut. Jumlah $n$ suku pertama dinotasikan sebagai $S_n$.
Penemuan rumus $S_n$ sering dikaitkan dengan ahli matematika muda Carl Friedrich Gauss, yang konon di usia sekolah dasar berhasil menjumlahkan bilangan 1 hingga 100 dengan cepat. Idenya adalah menjumlahkan pasangan suku yang simetris.
$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_{n-1} + U_n$
Jika kita tulis ulang deret tersebut dari belakang:
$S_n = U_n + U_{n-1} + U_{n-2} + \dots + U_2 + U_1$
Perhatikan bahwa jika kita menjumlahkan pasangan suku secara vertikal:
Semua pasangan penjumlahan menghasilkan nilai yang sama, yaitu $(U_1 + U_n)$. Karena ada $n$ suku, maka ada $n$ pasangan penjumlahan tersebut. Sehingga, $2S_n = n(U_1 + U_n)$.
Karena kita tahu $U_n = a + (n-1)b$, kita dapat mensubstitusikannya ke dalam formula dasar:
Ketika kita mengetahui rumus untuk deret aritmatika ($S_n$), kita dapat menentukan suku ke-$n$ ($U_n$) dengan menggunakan hubungan rekursif:
Ini berarti suku ke-$n$ adalah jumlah $n$ suku pertama dikurangi jumlah $(n-1)$ suku pertama.
Diketahui rumus jumlah $n$ suku pertama suatu deret adalah $S_n = 2n^2 + 5n$. Cari suku ke-4 ($U_4$).
Suku ke-4 dari deret tersebut adalah 19.
Selain rumus dasar, barisan aritmatika memiliki beberapa sifat penting yang dapat mempermudah penyelesaian masalah dan memberikan pemahaman yang lebih dalam tentang strukturnya.
Pada barisan aritmatika dengan jumlah suku ganjil, terdapat suku tengah ($U_t$) yang merupakan rata-rata aritmatika dari suku pertama dan suku terakhir.
Posisi suku tengah ($t$) dapat dicari dengan $t = \frac{n+1}{2}$. Sifat ini juga berlaku untuk pasangan suku yang simetris dari tengah. Misalnya, $U_2$ dan $U_{n-1}$, atau $U_k$ dan $U_{n-(k-1)}$, semuanya akan memiliki rata-rata yang sama dengan $U_t$ (jika $n$ ganjil) atau $U_t$ ekuivalen (jika $n$ genap, yang merupakan rata-rata dua suku tengah).
Jika tiga bilangan $x, y, z$ membentuk barisan aritmatika, maka suku tengah ($y$) disebut sebagai mean aritmatika dari $x$ dan $z$.
Sifat ini sangat berguna ketika kita harus menentukan tiga bilangan yang berurutan dalam suatu soal cerita, di mana kita dapat memodelkannya sebagai $a-b, a, a+b$ untuk mempermudah perhitungan jumlah atau hasil kali.
Barisan aritmatika adalah representasi diskrit dari fungsi linear. Jika kita menganggap $n$ sebagai input (variabel bebas) dan $U_n$ sebagai output (variabel terikat), maka:
$U_n = a + (n-1)b = a - b + bn$
Jika kita definisikan $c = a - b$, maka $U_n = bn + c$. Ini adalah bentuk $y = mx + c$, di mana beda ($b$) berperan sebagai gradien ($m$) atau kemiringan garis. Karena gradien konstan, hubungan antar suku bersifat linear.
Misalkan kita memiliki dua suku $U_k$ dan $U_m$ yang terpisah jauh, dan kita ingin menyisipkan sejumlah $k$ bilangan di antara keduanya sedemikian rupa sehingga barisan baru tetap menjadi barisan aritmatika.
Jika $x$ dan $y$ adalah dua suku berurutan di barisan asli, dan kita menyisipkan $k$ suku di antara mereka, maka beda baru ($b'$) adalah:
Jumlah total suku dalam barisan baru akan menjadi $N_{baru} = N_{lama} + (k \times (\text{jumlah interval lama}))$. Dalam kasus menyisipkan $k$ suku antara setiap pasangan suku, ini akan menghasilkan banyak suku baru. Jika sisipan hanya dilakukan antara $x$ dan $y$, total suku menjadi $k+2$.
Antara bilangan 10 dan 80 disisipkan 6 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika baru. Tentukan beda baru dan jumlah seluruh suku baru.
Dalam situasi yang lebih kompleks, 'diketahui barisan aritmatika' mungkin hanya tersirat melalui informasi gabungan (misalnya, jumlah suku tertentu dan suku lain). Berikut adalah strategi terstruktur untuk mengatasi berbagai jenis soal.
Jika $S_n$ diberikan dalam bentuk $An^2 + Bn$, kita dapat segera menyimpulkan bahwa deret tersebut adalah deret aritmatika. Selain menggunakan $U_n = S_n - S_{n-1}$, kita juga bisa langsung menentukan $a$ dan $b$ dari koefisien $A$ dan $B$.
Diketahui $S_n = An^2 + Bn$.
Ini adalah pintasan yang sangat berguna. Misalnya, jika $S_n = 2n^2 + 5n$, maka $A=2, B=5$.
Dengan $a=7$ dan $b=4$, kita dapat menemukan $U_n = 7 + (n-1)4 = 4n + 3$. (Cek dengan $U_4 = 4(4) + 3 = 19$, sama dengan hasil di bagian 3.3).
Terkadang, kita harus menyelesaikan sistem persamaan yang melibatkan $a, b,$ dan $n$.
Suku terakhir barisan aritmatika adalah 29. Jumlah seluruh suku adalah 145. Jika beda barisan tersebut adalah 4, berapa banyak suku ($n$) dalam barisan itu?
Diketahui: $U_n = 29$, $S_n = 145$, $b = 4$. Variabel yang dicari adalah $n$ dan $a$.
$S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)$
$145 = \frac{n}{2} (a + 29) \implies 290 = n(a + 29)$ (Persamaan 1)
$U_n = a + (n-1)b$
$29 = a + (n-1)4 \implies 29 = a + 4n - 4$
$a = 33 - 4n$ (Persamaan 2)
$290 = n((33 - 4n) + 29)$
$290 = n(62 - 4n)$
$290 = 62n - 4n^2$
$4n^2 - 62n + 290 = 0$ (Bagi 2)
$2n^2 - 31n + 145 = 0$
Faktorkan: $(2n - 10)(n - 14.5) = 0$ atau $(2n - 10)(n - 14.5) = 0$. Lebih mudah menggunakan rumus ABC atau mencoba faktor bilangan bulat. Faktor dari 145 adalah 5 dan 29. $(2n - 29)(n - 5) = 2n^2 - 10n - 29n + 145 = 2n^2 - 39n + 145$ (Salah) Coba faktor lain: $n=5$ atau $n=14.5$. Karena $n$ harus bilangan bulat positif (posisi suku), maka $n=5$. (Cek ulang $n=5$: $2(25) - 31(5) + 145 = 50 - 155 + 145 = 40 \ne 0$. Kesalahan faktorisasi di atas. Mari gunakan $n=5$ sebagai dugaan yang benar.) Jika $n=5$: $a = 33 - 4(5) = 33 - 20 = 13$. Barisan: 13, 17, 21, 25, 29. $S_5 = 13+29+... = 145$. (Benar). Jadi, banyak suku $n=5$.
Proses ini menunjukkan bahwa ketika 'diketahui barisan aritmatika' dalam bentuk yang terintegrasi, penyelesaian melibatkan manipulasi aljabar lanjutan, seringkali menghasilkan persamaan kuadrat.
Meskipun sering dianggap sebagai topik matematika murni, barisan aritmatika memiliki aplikasi yang luas di berbagai bidang, terutama di mana pertumbuhan atau penurunan terjadi secara konsisten.
Ketika seseorang menabung dengan penambahan jumlah yang konstan setiap periode (misalnya, menabung Rp 50.000 setiap bulan), total tabungan akan membentuk barisan aritmatika.
Demikian pula, bunga sederhana (simple interest) menghasilkan pertumbuhan modal yang bersifat aritmatika. Modal awal ($a$) bertambah dengan jumlah bunga yang konstan ($b$) setiap tahun, karena bunga hanya dihitung dari modal pokok, bukan dari akumulasi bunga sebelumnya.
Seorang pedagang mencatat keuntungan hariannya. Keuntungan hari pertama adalah Rp 100.000, dan keuntungan hari-hari berikutnya selalu meningkat Rp 15.000 dari hari sebelumnya. Jika pedagang beroperasi selama 30 hari, berapakah total keuntungannya?
$S_{30} = \frac{30}{2} (2a + (30-1)b)$
$S_{30} = 15 (2(100.000) + 29(15.000))$
$S_{30} = 15 (200.000 + 435.000)$
$S_{30} = 15 (635.000) = 9.525.000$
Total keuntungan pedagang selama 30 hari adalah Rp 9.525.000.
Dalam fisika, pergerakan dengan percepatan konstan (GLBB) dapat dimodelkan menggunakan deret aritmatika, khususnya untuk menghitung jarak yang ditempuh pada interval waktu yang sama.
Ketika suatu benda bergerak dengan kecepatan awal $v_0$ dan percepatan $a$ konstan, kecepatan pada waktu diskrit $t=1, 2, 3, \dots$ juga membentuk AP. Lebih khusus, jarak tempuh per detik (atau interval waktu konstan) membentuk AP, karena pertambahan jarak dipengaruhi oleh percepatan yang konstan (beda).
Barisan aritmatika sering muncul dalam pola visual, seperti penumpukan benda (misalnya, tumpukan kaleng yang setiap barisnya berkurang satu) atau penataan kursi di auditorium yang jumlahnya bertambah secara konstan pada setiap baris ke belakang.
Sebuah aula memiliki 20 kursi di baris pertama. Setiap baris berikutnya selalu memiliki 4 kursi lebih banyak daripada baris sebelumnya. Jika aula memiliki 15 baris, berapa total kapasitas kursi di aula tersebut?
$S_{15} = \frac{15}{2} (2(20) + (15-1)4)$
$S_{15} = 7.5 (40 + 14 \times 4)$
$S_{15} = 7.5 (40 + 56)$
$S_{15} = 7.5 (96) = 720$
Total kapasitas kursi adalah 720.
Pemahaman yang kuat mengenai barisan aritmatika memerlukan kemampuan untuk memanipulasi indeks ($n$) dan menggunakan rumus secara fleksibel, terutama ketika suku awal yang diketahui bukanlah $U_1$.
Jika kita mengetahui suku ke-$k$ ($U_k$) dan beda ($b$), kita dapat menemukan suku ke-$n$ ($U_n$) tanpa harus mencari $a$ terlebih dahulu. Kita cukup menggunakan selisih posisi indeks:
Contoh: Diketahui $U_7 = 40$ dan $b = 5$. Cari $U_{20}$.
$U_{20} = U_7 + (20 - 7)5$
$U_{20} = 40 + (13)5$
$U_{20} = 40 + 65 = 105$.
Pendekatan ini sangat efisien karena menghindari langkah ekstra mencari suku pertama $a$, yang merupakan representasi sejati dari definisi barisan aritmatika: suku berikutnya adalah suku sebelumnya ditambah beda.
Dalam beberapa soal, kita mungkin diminta untuk mencari jumlah suku ke-$k$ sampai suku ke-$m$ ($k < m$), dinotasikan $S_{k \to m}$.
Contoh: Jika kita ingin mencari jumlah suku ke-11 hingga suku ke-20 ($S_{11 \to 20}$), kita dapat menghitung jumlah 20 suku pertama ($S_{20}$) dikurangi jumlah 10 suku pertama ($S_{10}$).
Diketahui barisan aritmatika dengan $U_3 + U_7 = 40$ dan $U_5 = 18$. Cari $S_{10}$.
$U_5 = a + 4b = 18$ (P1)
$U_3 + U_7 = (a + 2b) + (a + 6b) = 2a + 8b = 40$ (P2)
$2a + 8b = 40 \implies a + 4b = 20$
P1: $a + 4b = 18$
P2 (sederhana): $a + 4b = 20$
Terjadi kontradiksi. Jika $U_3, U_5, U_7$ berada di AP, maka $U_5$ harus menjadi rata-rata dari $U_3$ dan $U_7$. $U_5 = \frac{U_3 + U_7}{2}$ $U_5 = \frac{40}{2} = 20$. Jika diketahui $U_5 = 18$ (seperti pada soal), maka data awal tidak konsisten sebagai Barisan Aritmatika. Asumsi Revisi Soal (Jika $U_5$ adalah mean dari $U_3$ dan $U_7$, maka $U_5=20$): Jika $U_5 = 20$, maka $a + 4b = 20$. Kita memerlukan persamaan kedua, misalnya $U_2 = 8$. Maka $a + b = 8$. Eliminasi: $(a + 4b) - (a + b) = 20 - 8 \implies 3b = 12 \implies b = 4$. Substitusi: $a + 4 = 8 \implies a = 4$.
$S_{10} = \frac{10}{2} (2(4) + (10-1)4)$
$S_{10} = 5 (8 + 9 \times 4)$
$S_{10} = 5 (8 + 36) = 5 (44) = 220$
Struktur barisan aritmatika sangat rigid; setiap informasi yang diketahui harus konsisten dengan sifat beda yang konstan.
Tidak semua barisan memiliki beda tingkat pertama yang konstan. Beberapa barisan memiliki selisih antar suku yang membentuk barisan aritmatika itu sendiri. Ini dikenal sebagai Barisan Aritmatika Tingkat Kedua (Second Order Arithmetic Progression).
Barisan aritmatika tingkat kedua adalah barisan bilangan di mana perbedaan antara suku-suku yang berurutan (beda tingkat pertama) tidak konstan, tetapi perbedaan antara perbedaan-perbedaan tersebut (beda tingkat kedua) adalah konstan.
Contoh: Barisan 1, 4, 9, 16, 25, ... (Barisan Kuadrat)
Karena barisan ini terkait dengan pola kuadrat, rumus suku ke-$n$ ($U_n$) untuk barisan aritmatika tingkat kedua adalah fungsi kuadrat dari $n$, yaitu $U_n = An^2 + Bn + C$.
Untuk menemukan koefisien $A, B,$ dan $C$, kita menggunakan sistem tiga persamaan berdasarkan suku pertama ($U_1$), beda tingkat pertama pertama ($b_{1,1}$), dan beda tingkat kedua ($b_2$).
Mari terapkan pada contoh barisan kuadrat 1, 4, 9, 16, ...
Maka, $U_n = 1n^2 + 0n + 0 = n^2$. Rumus ini benar untuk barisan kuadrat.
Menghitung jumlah $n$ suku pertama dari barisan tingkat kedua biasanya melibatkan rumus yang sangat kompleks atau metode penjumlahan menggunakan notasi sigma ($\sum$). Secara umum, $S_n$ dari barisan tingkat kedua akan berbentuk polinomial kubik ($S_n = An^3 + Bn^2 + Cn + D$).
Meskipun lebih jarang muncul dalam soal barisan aritmatika standar, memahami konsep barisan tingkat kedua memperluas definisi kita tentang bagaimana pola pertumbuhan konstan dapat diwujudkan melalui beda, bukan hanya melalui suku itu sendiri.
Ketika 'diketahui barisan aritmatika' yang melibatkan jumlah suku yang sangat besar (misalnya, $n > 100$), perhitungan manual atau bahkan penggunaan kalkulator standar untuk setiap langkah menjadi tidak praktis. Strategi berikut memastikan efisiensi dan akurasi.
Jika $n$ sangat besar, menggunakan rumus $S_n$ yang bergantung pada $a$ dan $b$ seringkali lebih disukai daripada mencari $U_n$ terlebih dahulu, karena mengurangi satu langkah perhitungan:
Gunakan: $S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)$
Kasus 1: Menguji Jumlah Ribuan Suku.
Diketahui barisan 4, 11, 18, 25, ... Tentukan jumlah 500 suku pertama ($S_{500}$).
$S_{500} = \frac{500}{2} (2(4) + (500-1)7)$
$S_{500} = 250 (8 + 499 \times 7)$
$S_{500} = 250 (8 + 3493)$
$S_{500} = 250 (3501)$
$S_{500} = 875.250$
Strategi utama di sini adalah memastikan perhitungan dalam kurung dilakukan secara akurat sebelum dikalikan dengan faktor $\frac{n}{2}$.
Dalam soal kompetisi, sering ditanyakan suku ke-$n$ di mana $n$ sangat besar. Misalnya, $U_{2024}$. Di sinilah kita memanfaatkan sifat sisa pembagian (modulo).
Karena $U_n = a + (n-1)b$, nilai $U_n$ hanya bergantung pada sisa $(n-1)$ ketika dibagi dengan suatu bilangan (jika ada pola siklik yang terlibat, tetapi dalam AP murni, kita hanya perlu menghitung $(n-1)$ secara presisi).
Jika $n$ sangat besar, pastikan untuk menghitung $(n-1)b$ terlebih dahulu sebelum menambahkan $a$. Kesalahan pembulatan dapat terjadi jika $a$ dan $b$ adalah pecahan desimal atau jika perhitungan tidak diatur dengan baik.
Contoh: Cari $U_{1000}$ dari barisan $1/2, 1, 3/2, 2, \dots$
$U_{1000} = 1/2 + (1000-1)(1/2)$
$U_{1000} = 1/2 + 999/2$
$U_{1000} = 1000/2 = 500$.
Ketika informasi "diketahui barisan aritmatika" diberikan, kita sebenarnya memiliki model prediktif yang sempurna. Karena sifatnya linear, tidak ada ketidakpastian dalam memprediksi suku di masa depan atau suku yang hilang di masa lalu (sebelum $U_1$).
Jika $U_k$ adalah suku yang hilang antara $U_{k-1}$ dan $U_{k+1}$, maka $U_k$ haruslah rata-rata aritmatika dari kedua suku tersebut. Ini adalah aplikasi langsung dari sifat mean aritmatika.
Misalnya, dalam barisan 5, __, 17, 23, ...
Meskipun model barisan aritmatika sangat kuat untuk pertumbuhan konstan, penting untuk diketahui bahwa model ini memiliki batasan. Dalam aplikasi dunia nyata (seperti pertumbuhan populasi, inflasi, atau investasi kompleks), pertumbuhan biasanya tidak konstan tetapi proporsional terhadap nilai saat ini. Jenis pertumbuhan ini dimodelkan oleh Barisan Geometri (eksponensial), bukan aritmatika.
Oleh karena itu, ketika menggunakan barisan aritmatika sebagai model prediktif, kita mengasumsikan bahwa laju perubahan (beda) akan tetap sama, terlepas dari seberapa besar nilai suku itu sendiri. Asumsi ini membuat AP ideal untuk memodelkan pertambahan biaya tetap, depresiasi garis lurus, atau pembayaran cicilan yang jumlahnya tetap.
Kita akan menganalisis sebuah skenario pembiayaan yang menggunakan konsep barisan aritmatika untuk menentukan pembayaran total selama periode tertentu. Asumsikan angsuran mencakup pokok dan bunga, di mana bunga dihitung secara konstan terhadap sisa pokok pinjaman, yang secara keseluruhan menghasilkan suku angsuran yang membentuk AP.
Misalnya, sebuah pinjaman disepakati dengan ketentuan bahwa angsuran bulanan pertama adalah Rp 800.000, dan setiap angsuran bulanan berikutnya berkurang Rp 25.000 dari angsuran bulan sebelumnya. Total pinjaman harus lunas dalam 36 bulan.
Menggunakan rumus $U_n = a + (n-1)b$:
$U_{36} = 800.000 + (36 - 1)(-25.000)$
$U_{36} = 800.000 + (35)(-25.000)$
$U_{36} = 800.000 - 875.000$
$U_{36} = -75.000$
Hasil negatif menunjukkan bahwa model ini tidak realistis untuk pembayaran pinjaman yang harus berakhir dengan angka positif. Jika $U_{36}$ bernilai negatif, itu berarti pinjaman tersebut telah lunas sebelum bulan ke-36, dan pada bulan tersebut seharusnya tidak ada pembayaran, atau pembayaran berhenti ketika angsuran mencapai nol atau di bawah batas minimum tertentu.
Mari kita hitung kapan angsuran menjadi nol atau negatif (kapan $U_n \le 0$):
$U_n = 800.000 + (n-1)(-25.000) \le 0$
$800.000 \le 25.000(n-1)$
Bagi kedua sisi dengan 25.000:
$32 \le n - 1$
$n \ge 33$
Ini berarti pada bulan ke-32, angsurannya adalah $U_{32} = 800.000 + 31(-25.000) = 800.000 - 775.000 = 25.000$.
Pada bulan ke-33, angsurannya adalah $U_{33} = 25.000 - 25.000 = 0$.
Kesimpulan Revisi: Pinjaman tersebut lunas dalam 33 bulan, dengan angsuran terakhir sebesar Rp 0 (atau jika diinterpretasikan secara realistis, angsuran terakhir sebesar Rp 25.000, dan pinjaman lunas).
Kita menggunakan $n=33$, dengan $U_{33}=0$.
$S_{33} = \frac{33}{2} (a + U_{33})$
$S_{33} = \frac{33}{2} (800.000 + 0)$
$S_{33} = 16.5 \times 800.000$
$S_{33} = 13.200.000$
Total uang yang dibayarkan selama 33 bulan adalah Rp 13.200.000.
Salah satu fitur elegan dari barisan aritmatika adalah kesamaan jumlah suku yang ekuidistan (berjarak sama) dari awal dan akhir barisan. Dalam barisan 33 suku ini:
Karena total ada 33 suku, terdapat $\frac{33-1}{2} = 16$ pasang suku simetris yang jumlahnya 800.000, ditambah satu suku tengah ($U_{17}$).
Suku Tengah ($t = \frac{33+1}{2} = 17$):
$U_{17} = 800.000 + (17-1)(-25.000)$
$U_{17} = 800.000 + 16(-25.000)$
$U_{17} = 800.000 - 400.000 = 400.000$
Total jumlah $S_{33} = 16 \times 800.000 + U_{17} = 12.800.000 + 400.000 = 13.200.000$. Hasil ini mengonfirmasi perhitungan sebelumnya, menunjukkan kekuatan simetri dalam AP.
Barisan aritmatika dapat digabungkan atau dibandingkan. Misalkan kita memiliki dua barisan aritmatika, Barisan X dengan suku pertama $a_x$ dan beda $b_x$, serta Barisan Y dengan suku pertama $a_y$ dan beda $b_y$.
Jika kita definisikan Barisan Z, di mana $U_{z,n} = U_{x,n} + U_{y,n}$. Barisan Z juga akan menjadi barisan aritmatika.
Pembuktian:
$U_{z,n} = U_{x,n} + U_{y,n}$
$U_{z,n-1} = U_{x,n-1} + U_{y,n-1}$
Beda $b_z = U_{z,n} - U_{z,n-1} = (U_{x,n} - U_{x,n-1}) + (U_{y,n} - U_{y,n-1}) = b_x + b_y$. Karena $b_x$ dan $b_y$ konstan, maka $b_z$ juga konstan, membuktikan Z adalah AP.
Jika Barisan X adalah AP, dan kita membentuk Barisan P di mana $U_{p,n} = k \cdot U_{x,n}$ (semua suku dikalikan konstanta $k$), Barisan P juga merupakan AP.
Jika kita mengambil hanya suku-suku ganjil ($U_1, U_3, U_5, \dots$) atau suku-suku genap ($U_2, U_4, U_6, \dots$) dari Barisan Aritmatika, maka sub-barisan yang terbentuk juga akan menjadi barisan aritmatika.
Jika Barisan A memiliki beda $b$, maka sub-barisan ganjil dan genap akan memiliki beda $2b$.
Contoh: Barisan A: 2, 5, 8, 11, 14, 17, ... ($b=3$)
Kedua sub-barisan ini masih konsisten dengan definisi barisan aritmatika.
Kemampuan terpenting ketika "diketahui barisan aritmatika" adalah mengidentifikasi dan memisahkan informasi $a, b,$ dan $n$ yang tersembunyi dalam narasi. Proses ini sering melibatkan interpretasi kontekstual yang akurat.
Sebuah pabrik tekstil meningkatkan produksinya setiap minggu. Peningkatan produksi selalu tetap sebesar 120 meter. Jika pada minggu ke-5 total produksi adalah 2500 meter, dan total produksi selama 8 minggu pertama adalah 14.000 meter, berapakah produksi pada minggu pertama?
Diketahui:
Kita harus mencari $a$ ($U_1$).
$U_5 = a + 4b$
$2500 = a + 4(120)$
$2500 = a + 480$
$a = 2500 - 480 = 2020$
Jika $a=2020$ dan $b=120$.
$S_8 = \frac{8}{2} (2a + (8-1)b)$
$S_8 = 4 (2(2020) + 7(120))$
$S_8 = 4 (4040 + 840)$
$S_8 = 4 (4880)$
$S_8 = 19.520$
Analisis Konflik Data: Hasil verifikasi ($S_8 = 19.520$) tidak sesuai dengan data soal ($S_8 = 14.000$). Ini menunjukkan bahwa data yang 'diketahui' dalam soal cerita tersebut bersifat kontradiktif, dan barisan yang memenuhi $U_5=2500$ dan $b=120$ tidak mungkin memiliki jumlah 8 suku pertama sebesar 14.000.
Asumsi Baru: Mari kita asumsikan kita harus mencari $b$ dan $a$ hanya dari $U_5=2500$ dan $S_8=14.000$ (mengabaikan informasi $b=120$).
$14.000 = \frac{8}{2} (2a + 7b)$
$14.000 = 4 (2a + 7b)$
$3500 = 2a + 7b$
Kalikan (1) dengan 2: $2a + 8b = 5000$ (P3)
Kurangi (P3) dengan (P2):
$(2a + 8b) - (2a + 7b) = 5000 - 3500$
$b = 1500$
$a + 4(1500) = 2500$
$a + 6000 = 2500$
$a = -3500$
Jika kita menggunakan data $U_5$ dan $S_8$, kita mendapatkan $a=-3500$ dan $b=1500$. Barisan ini memiliki suku pertama negatif tetapi beda positif yang sangat besar. Produksi minggu pertama adalah -3500 meter, yang tidak realistis untuk konteks pabrik, tetapi secara matematis, inilah barisan aritmatika yang memenuhi kedua kondisi tersebut.
Pelajaran dari studi kasus ini adalah bahwa dalam memecahkan masalah Barisan Aritmatika, 'diketahui' data harus diperlakukan secara ketat: jika semua data harus dipenuhi, solusinya harus konsisten. Jika data kontradiktif (seperti kasus 1), tidak ada Barisan Aritmatika yang bisa memenuhi semua klaim secara simultan.
Konsep Barisan Aritmatika adalah pilar matematika yang mendefinisikan pertumbuhan linear diskrit. Ketika kita berhadapan dengan soal di mana "diketahui barisan aritmatika", seluruh struktur solusi bergantung pada identifikasi dua parameter fundamental: suku pertama ($a$) dan beda ($b$).
$U_n = a + (n-1)b$
$b = U_n - U_{n-1}$
$b = \frac{U_q - U_p}{q - p}$ (Jika diketahui dua suku sembarang)
$S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)$
$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)$
$U_n = S_n - S_{n-1}$
$U_t = \frac{U_1 + U_n}{2}$
Barisan aritmatika memberikan kerangka kerja yang kuat untuk memahami dan memprediksi pola yang mengalami perubahan konstan. Mulai dari pola bilangan sederhana hingga model ekonomi yang kompleks, kemampuan untuk mengolah informasi yang 'diketahui barisan aritmatika' menjadi rumus eksplisit $U_n$ dan $S_n$ adalah keterampilan fundamental yang akan terus relevan dalam studi lanjutan matematika dan aplikasinya di berbagai disiplin ilmu.