Matematika adalah bahasa universal, dan salah satu konsep dasarnya yang paling elegan dan sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah barisan aritmatika. Dari perhitungan bunga bank, pola pertumbuhan populasi, hingga desain arsitektur, pemahaman tentang barisan ini sangat fundamental.
Artikel ini dirancang sebagai sumber referensi terlengkap, membimbing Anda melalui setiap aspek barisan aritmatika—mulai dari definisi dasar, penurunan rumus, teknik pencarian suku ke-n dan jumlah n suku pertama, hingga studi kasus mendalam yang mencakup berbagai skenario kompleks.
1. Memahami Hakikat Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika (atau kadang disebut barisan hitung) adalah susunan bilangan yang memiliki pola keteraturan yang sangat spesifik: selisih antara dua suku berurutan selalu tetap. Selisih inilah yang kita sebut sebagai beda atau b.
Misalnya, barisan 2, 5, 8, 11, 14, ... adalah barisan aritmatika. Jika kita hitung selisihnya: $5 - 2 = 3$, $8 - 5 = 3$, $11 - 8 = 3$. Karena selisihnya selalu 3, maka barisan ini adalah aritmatika dengan beda $b = 3$.
1.1. Komponen Utama Barisan Aritmatika
Untuk bisa bekerja dengan barisan aritmatika, kita harus mengidentifikasi tiga komponen kuncinya:
- Suku Pertama ($a$ atau $U_1$): Bilangan awal atau suku pertama dalam barisan.
- Beda ($b$): Selisih tetap antara suku yang berurutan. Dihitung dengan rumus $b = U_n - U_{n-1}$.
- Suku ke-n ($U_n$): Nilai dari bilangan pada posisi tertentu ($n$) dalam barisan.
2. Prosedur Kritis: Menentukan Beda ($b$)
Langkah pertama dan paling penting dalam mencari barisan aritmatika adalah memastikan bahwa barisan tersebut benar-benar aritmatika, yaitu dengan menentukan beda ($b$). Tanpa beda yang konsisten, barisan tersebut bukanlah barisan aritmatika murni.
2.1. Rumus Dasar Penentuan Beda
Di mana $U_n$ adalah suku ke-n dan $U_{n-1}$ adalah suku sebelumnya.
2.2. Studi Kasus Penentuan Beda
Contoh 1: Barisan Menaik
Diberikan barisan: 10, 17, 24, 31, ...
Langkah 1: Hitung selisih antara $U_2$ dan $U_1$.
$b_1 = 17 - 10 = 7$
Langkah 2: Hitung selisih antara $U_3$ dan $U_2$.
$b_2 = 24 - 17 = 7$
Langkah 3: Hitung selisih antara $U_4$ dan $U_3$.
$b_3 = 31 - 24 = 7$
Karena $b_1 = b_2 = b_3 = 7$, maka barisan ini adalah aritmatika dengan beda $b=7$.
Contoh 2: Barisan Menurun (Beda Negatif)
Diberikan barisan: 50, 45, 40, 35, ...
Perhitungan: $b = 45 - 50 = -5$. $b = 40 - 45 = -5$.
Ini membuktikan bahwa barisan aritmatika juga mencakup barisan yang menurun. Beda ($b$) dapat berupa bilangan positif, negatif, atau bahkan nol (yang menghasilkan barisan konstan).
2.3. Menemukan Beda Jika Suku Berjauhan Diketahui
Terkadang, kita hanya diberikan dua suku yang posisinya berjauhan, misalnya $U_5$ dan $U_{12}$. Kita dapat menurunkan beda dengan rumus yang lebih umum:
Di mana $U_p$ dan $U_q$ adalah suku ke-$p$ dan suku ke-$q$.
Contoh 3: Menemukan Beda dari Suku Jauh
Diketahui $U_5 = 23$ dan $U_{10} = 48$. Tentukan beda $b$ dan suku pertamanya $a$.
Langkah 1: Terapkan rumus beda jarak jauh.
$b = \frac{U_{10} - U_5}{10 - 5} = \frac{48 - 23}{5} = \frac{25}{5} = 5$.
Beda barisan tersebut adalah $b=5$.
Langkah 2: Mencari suku pertama ($a$). Kita gunakan rumus $U_n = a + (n-1)b$. Kita pilih $U_5$ (bisa juga $U_{10}$).
$U_5 = a + (5-1)b$
$23 = a + 4(5)$
$23 = a + 20$
$a = 23 - 20 = 3$.
Suku pertama ($a$) adalah 3.
3. Inti Perhitungan: Mencari Suku ke-n ($U_n$)
Tujuan utama dalam mencari barisan aritmatika adalah menemukan rumus untuk menentukan nilai suku pada posisi mana pun, tanpa harus menghitung seluruh suku sebelumnya. Rumus ini diturunkan dari pola dasar barisan:
- $U_1 = a$
- $U_2 = U_1 + b = a + 1b$
- $U_3 = U_2 + b = (a + b) + b = a + 2b$
- $U_4 = U_3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b$
Perhatikan bahwa koefisien $b$ selalu $(n-1)$. Ini menghasilkan rumus umum yang paling sering digunakan:
3.1. Rumus Umum Suku ke-n
Di mana:
- $U_n$: Suku yang dicari (pada posisi $n$)
- $a$: Suku pertama ($U_1$)
- $n$: Urutan suku
- $b$: Beda barisan
3.2. Prosedur Langkah Demi Langkah Menghitung $U_n$
Contoh 4: Menghitung Suku Jauh
Barisan aritmatika dimulai dengan 5, 12, 19, 26, ... Cari nilai suku ke-50 ($U_{50}$).
Identifikasi:
$a = 5$ (Suku pertama)
$b = 12 - 5 = 7$ (Beda)
$n = 50$ (Posisi suku)
Perhitungan:
$U_{50} = a + (50 - 1)b$
$U_{50} = 5 + (49)7$
$U_{50} = 5 + 343$
$U_{50} = 348$.
Suku ke-50 dari barisan tersebut adalah 348.
4. Mencari Posisi Suku ($n$) (Invers $U_n$)
Terkadang, kita sudah mengetahui nilai suku ($U_n$), tetapi kita tidak tahu di posisi (urutan) ke berapa nilai tersebut berada. Ini adalah operasi invers dari mencari $U_n$.
4.1. Modifikasi Rumus untuk Mencari $n$
Kita tetap menggunakan rumus dasar $U_n = a + (n-1)b$, tetapi kita ubah fokusnya untuk menyelesaikan $n$.
4.2. Studi Kasus Mencari $n$
Contoh 5: Menentukan Urutan
Barisan aritmatika adalah 100, 95, 90, 85, ... Berapakah posisi suku yang nilainya 15?
Identifikasi:
$U_n = 15$
$a = 100$
$b = 95 - 100 = -5$
Perhitungan:
$n = \frac{15 - 100}{-5} + 1$
$n = \frac{-85}{-5} + 1$
$n = 17 + 1$
$n = 18$.
Suku yang bernilai 15 berada pada posisi ke-18 ($U_{18}$).
Validasi Konsep: Penting untuk dicatat bahwa nilai $n$ (urutan suku) harus selalu merupakan bilangan bulat positif. Jika hasil perhitungan menghasilkan bilangan pecahan atau negatif, berarti nilai $U_n$ yang dicari (misalnya 15) tidak termasuk dalam barisan aritmatika tersebut.
5. Ekspansi Konsep: Deret Aritmatika ($S_n$)
Setelah mahir mencari suku individual, langkah selanjutnya dalam memahami barisan aritmatika adalah menghitung total jumlah dari sejumlah suku. Jumlah ini disebut Deret Aritmatika, disimbolkan dengan $S_n$.
5.1. Penurunan Rumus Deret Aritmatika
Deret $S_n$ adalah jumlah dari suku pertama hingga suku ke-n. Bayangkan kita menjumlahkan $U_1 + U_2 + ... + U_n$. Gauss menemukan cara elegan untuk menghitung ini. Jika kita menjumlahkan deret tersebut ke depan dan ke belakang, kita akan selalu mendapatkan hasil yang sama sebanyak $n$ kali:
$$ S_n = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (U_n) $$ $$ S_n = U_n + (U_n-b) + (U_n-2b) + ... + (a) $$Jika kedua baris dijumlahkan secara vertikal:
$$ 2S_n = (a + U_n) + (a + U_n) + (a + U_n) + ... (n \text{ kali}) $$ $$ 2S_n = n (a + U_n) $$Sehingga menghasilkan dua rumus utama untuk $S_n$:
5.2. Dua Rumus Utama $S_n$
Rumus 1 (Jika $U_n$ Diketahui):
$$ S_n = \frac{n}{2} (a + U_n) $$Rumus 2 (Jika $U_n$ Tidak Diketahui):
$$ S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b] $$5.3. Studi Kasus Perhitungan $S_n$
Contoh 6: Menghitung Jumlah 20 Suku Pertama
Tentukan jumlah 20 suku pertama ($S_{20}$) dari barisan: 3, 7, 11, 15, ...
Identifikasi:
$a = 3$
$b = 7 - 3 = 4$
$n = 20$
Metode 1: Menggunakan Rumus 2 (Langsung)
$S_{20} = \frac{20}{2} [2(3) + (20-1)4]$
$S_{20} = 10 [6 + (19)4]$
$S_{20} = 10 [6 + 76]$
$S_{20} = 10 [82]$
$S_{20} = 820$.
Metode 2: Menggunakan Rumus 1 (Hitung $U_{20}$ dulu)
$U_{20} = 3 + (19)4 = 3 + 76 = 79$
$S_{20} = \frac{20}{2} (3 + 79) = 10 (82) = 820$.
Jumlah 20 suku pertama adalah 820.
6. Aplikasi Lanjut Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika seringkali muncul dalam format yang sedikit terselubung. Dua kasus lanjut yang sering diuji adalah menentukan suku tengah dan menyisipkan suku.
6.1. Mencari Suku Tengah ($U_t$)
Dalam barisan aritmatika dengan jumlah suku ganjil, terdapat suku tengah tunggal. Suku tengah ($U_t$) dapat dihitung dengan mudah jika suku pertama ($a$) dan suku terakhir ($U_n$) diketahui:
Posisi suku tengah ($t$) dihitung dengan $t = \frac{n+1}{2}$.
Contoh 7: Suku Tengah
Barisan aritmatika 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34. Cari suku tengahnya.
Identifikasi:
$a = 4$
$U_n = 34$ (Suku terakhir)
Perhitungan:
$U_t = \frac{4 + 34}{2} = \frac{38}{2} = 19$.
Suku tengahnya adalah 19 (yang merupakan $U_4$).
6.2. Sisipan Suku dalam Barisan Aritmatika
Kasus sisipan terjadi ketika kita ingin memasukkan sejumlah bilangan ($k$) di antara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan, sehingga barisan baru yang terbentuk tetap merupakan barisan aritmatika.
Misalkan kita memiliki suku $X$ dan $Y$. Kita sisipkan $k$ bilangan. Beda baru ($b_{baru}$) akan berubah, karena jarak $(Y-X)$ sekarang dibagi menjadi $(k+1)$ interval.
Contoh 8: Sisipan Suku
Di antara bilangan 10 dan 70 disisipkan 5 bilangan, sehingga membentuk barisan aritmatika baru. Tentukan beda barisan yang baru.
Identifikasi:
$X = 10$
$Y = 70$
$k = 5$ (Jumlah sisipan)
Perhitungan:
$b_{baru} = \frac{70 - 10}{5 + 1} = \frac{60}{6} = 10$.
Beda barisan yang baru adalah 10. Barisan yang terbentuk adalah: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70.
7. Studi Kasus dan Penerapan Kompleks
Untuk menguasai barisan aritmatika, kita harus mampu menyelesaikan permasalahan yang menggabungkan semua rumus yang telah dipelajari ($a, b, U_n, S_n$) dan menerapkannya dalam konteks nyata.
7.1. Studi Kasus I: Keuangan dan Investasi Sederhana
Seorang investor menanam modal sebesar Rp 1.000.000. Pada bulan pertama, ia mendapat keuntungan Rp 50.000. Di bulan kedua, ia mendapat Rp 55.000. Di bulan ketiga, Rp 60.000, dan seterusnya, di mana keuntungan selalu meningkat Rp 5.000 setiap bulannya. Jika investor ini berinvestasi selama 2 tahun (24 bulan), berapa total keuntungan yang ia peroleh?
Analisis Masalah: Barisan ini adalah barisan aritmatika keuntungan bulanan.
- Suku pertama ($a$) = Keuntungan bulan 1 = 50.000.
- Beda ($b$) = Kenaikan keuntungan per bulan = 5.000.
- $n$ = Jumlah bulan = 24.
- Yang dicari adalah total keuntungan ($S_{24}$).
Perhitungan $S_{24}$:
Gunakan Rumus 2: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b]$
$S_{24} = \frac{24}{2} [2(50.000) + (24-1)5.000]$
$S_{24} = 12 [100.000 + (23)5.000]$
$S_{24} = 12 [100.000 + 115.000]$
$S_{24} = 12 [215.000]$
$S_{24} = 2.580.000$
Total keuntungan yang diperoleh investor selama 2 tahun adalah Rp 2.580.000. (Catatan: Ini adalah keuntungan, modal awal tidak dihitung dalam deret ini).
7.2. Studi Kasus II: Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Barisan
Jika diketahui suku ke-3 ($U_3$) adalah 15 dan suku ke-7 ($U_7$) adalah 35, tentukan rumus suku ke-n dan nilai $S_{15}$.
Langkah 1: Menentukan Beda ($b$)
Gunakan rumus beda jarak jauh:
$$ b = \frac{U_7 - U_3}{7 - 3} = \frac{35 - 15}{4} = \frac{20}{4} = 5 $$Beda ($b$) adalah 5.
Langkah 2: Menentukan Suku Pertama ($a$)
Gunakan rumus $U_n = a + (n-1)b$ dengan $U_3$:
$$ U_3 = a + (3-1)5 $$ $$ 15 = a + 2(5) $$ $$ 15 = a + 10 $$ $$ a = 5 $$Langkah 3: Menentukan Rumus Suku ke-n
Substitusikan $a=5$ dan $b=5$ ke dalam rumus umum:
$$ U_n = 5 + (n-1)5 $$ $$ U_n = 5 + 5n - 5 $$ $$ U_n = 5n $$Langkah 4: Menghitung $S_{15}$
Kita dapat menggunakan $U_n = 5n$ untuk mencari $U_{15}$ terlebih dahulu:
$$ U_{15} = 5(15) = 75 $$Lalu gunakan Rumus 1 $S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)$:
$$ S_{15} = \frac{15}{2} (5 + 75) $$ $$ S_{15} = \frac{15}{2} (80) $$ $$ S_{15} = 15 \times 40 = 600 $$Rumus suku ke-n adalah $U_n = 5n$, dan jumlah 15 suku pertama adalah 600.
8. Teknik Pencarian Suku dari Barisan Aritmatika Bertingkat
Dalam studi matematika tingkat lanjut, kita mungkin bertemu barisan yang polanya tidak menghasilkan beda konstan pada tingkat pertama, melainkan pada tingkat kedua. Barisan ini disebut barisan aritmatika bertingkat (derajat dua).
8.1. Mengidentifikasi Barisan Bertingkat
Perhatikan barisan: 2, 6, 12, 20, 30, ...
- Beda Tingkat I ($b_1$): 4, 6, 8, 10, ... (Tidak konstan)
- Beda Tingkat II ($b_2$): 2, 2, 2, ... (Konstan!)
Karena bedanya baru konstan pada tingkat kedua, ini adalah barisan aritmatika bertingkat dua, yang rumus suku ke-n-nya berbentuk kuadratik: $U_n = an^2 + bn + c$.
8.2. Mencari Rumus $U_n$ Barisan Bertingkat
Kita menggunakan sistem koefisien untuk menemukan $a$, $b$, dan $c$. Kita tahu bahwa:
- $2a = \text{Beda Tingkat II}$
- $3a + b = \text{Suku pertama Beda Tingkat I}$
- $a + b + c = \text{Suku pertama Barisan } (U_1)$
Contoh 9: Barisan Bertingkat Dua
Barisan: 2, 6, 12, 20, 30, ...
Beda Tingkat II = 2. Suku pertama Beda Tingkat I = 4. $U_1 = 2$.
Langkah 1: Cari $a$
$2a = 2 \implies a = 1$.
Langkah 2: Cari $b$
$3a + b = 4$
$3(1) + b = 4 \implies b = 1$.
Langkah 3: Cari $c$
$a + b + c = U_1$
$1 + 1 + c = 2 \implies c = 0$.
Langkah 4: Rumus $U_n$
$U_n = an^2 + bn + c$
$U_n = 1n^2 + 1n + 0$
$$ U_n = n(n+1) $$
Jika dicoba, $U_5 = 5(5+1) = 30$, sesuai dengan barisan.
9. Kesalahan Umum dan Strategi Pencegahan
Meskipun rumus barisan aritmatika terlihat sederhana, kesalahan sering terjadi, terutama saat menangani beda negatif, operasi invers, atau saat berhadapan dengan soal cerita yang kompleks.
9.1. Kesalahan Penanganan Beda Negatif
Saat barisan menurun, beda harus negatif. Kesalahan umum adalah lupa memberikan tanda negatif saat menghitung $b$.
Contoh: Barisan 40, 30, 20. Jika Anda menghitung $b = 40 - 30 = 10$ (salah!), barisan Anda akan salah. Hitung selalu: $U_n - U_{n-1}$. Jadi, $b = 30 - 40 = -10$ (benar).
9.2. Kekeliruan pada $(n-1)$
Rumus $U_n = a + (n-1)b$ didasarkan pada fakta bahwa untuk mencapai suku ke-n, kita hanya perlu menambahkan beda sebanyak $(n-1)$ kali ke suku pertama.
Misalnya, untuk $U_4$, kita hanya butuh 3 kali penambahan beda ($a + 3b$). Selalu pastikan Anda mengurangi $n$ dengan 1 sebelum mengalikan dengan $b$.
9.3. Membedakan Barisan dan Deret
Ini adalah perbedaan fundamental yang sering membingungkan:
- Barisan ($U_n$): Hanya mencari nilai satu suku di posisi tertentu.
- Deret ($S_n$): Mencari total penjumlahan semua suku dari awal hingga posisi tersebut.
Ketika soal menanyakan "nilai suku ke-30", gunakan $U_n$. Ketika soal menanyakan "jumlah total 30 suku pertama", gunakan $S_n$. Menggunakan rumus yang salah adalah penyebab utama kegagalan dalam menyelesaikan soal aritmatika.
9.4. Pemecahan Soal Cerita yang Membingungkan
Soal cerita sering menggunakan bahasa yang samar. Strategi terbaik adalah memetakan informasi: mana yang $a$, mana yang $b$, dan mana yang $U_n$ atau $S_n$.
Misalnya, "jumlah seluruh kursi dari baris pertama hingga baris terakhir" secara implisit meminta $S_n$. Sementara "jumlah kursi pada baris ke-10" meminta $U_{10}$.
10. Ringkasan Komprehensif dan Tinjauan Strategis
Menguasai cara mencari barisan aritmatika memerlukan pemahaman yang kuat terhadap empat variabel utama: $a, b, n$, dan $U_n$, serta kemampuan untuk merangkumnya dalam bentuk deret $S_n$.
10.1. Tiga Pilar Pencarian Barisan Aritmatika
- Pilar 1: Beda ($b$) adalah Kunci Utama. Selalu verifikasi bahwa $b$ bersifat konstan. Jika tidak konstan, barisan tersebut mungkin geometrik atau barisan aritmatika bertingkat. Gunakan $b = U_n - U_{n-1}$ atau $b = \frac{U_p - U_q}{p - q}$.
- Pilar 2: Rumus Suku ke-n ($U_n$). Ini adalah rumus untuk mencari anggota barisan. $U_n = a + (n-1)b$. Rumus ini memungkinkan kita melompati ribuan suku sekaligus, sangat efisien.
- Pilar 3: Rumus Deret ($S_n$). Ini adalah rumus untuk menjumlahkan barisan. $S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)$ atau $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b]$.
Pemahaman mendalam terhadap barisan aritmatika bukan hanya keterampilan matematika, tetapi juga alat logis untuk menganalisis pola dan keteraturan dalam data. Dari perencanaan keuangan hingga pengolahan data statistik dasar, kemampuan ini akan menjadi landasan kuat untuk studi matematika dan sains yang lebih kompleks di masa depan.
10.2. Perbandingan Barisan Aritmatika dan Geometri (Untuk Konteks)
Penting untuk tidak mencampuradukkan kedua jenis barisan ini, karena kesamaan nama sering menimbulkan kebingungan.
| Fitur | Aritmatika | Geometri |
|---|---|---|
| Pola Keteraturan | Penjumlahan atau Pengurangan Tetap (Beda, $b$) | Perkalian atau Pembagian Tetap (Rasio, $r$) |
| Rumus Suku ke-n | $U_n = a + (n-1)b$ | $U_n = ar^{n-1}$ |
| Bentuk Grafik | Garis Lurus (Linear) | Kurva (Eksponensial) |
Dengan memegang teguh perbedaan ini dan menguasai teknik-teknik yang dibahas dalam panduan komprehensif ini, Anda telah memiliki semua alat yang diperlukan untuk mencari dan menganalisis barisan aritmatika dengan percaya diri, tidak peduli seberapa kompleks masalah yang disajikan.
10.3. Pendalaman: Pembuktian Formal Rumus $U_n$
Untuk tingkat akademis, pemahaman tentang bagaimana rumus $U_n$ diturunkan melalui Induksi Matematika sangat penting. Misalkan $P(n)$ adalah pernyataan $U_n = a + (n-1)b$.
Langkah Basis: Buktikan $P(1)$ benar. Untuk $n=1$, $U_1 = a + (1-1)b = a + 0 = a$. Ini benar, karena $a$ adalah definisi suku pertama.
Langkah Induksi: Asumsikan $P(k)$ benar, yaitu $U_k = a + (k-1)b$. Kita harus membuktikan bahwa $P(k+1)$ juga benar.
Definisi barisan aritmatika mengatakan $U_{k+1} = U_k + b$.
Substitusikan $U_k$ dari asumsi induksi:
$$ U_{k+1} = [a + (k-1)b] + b $$ $$ U_{k+1} = a + kb - b + b $$ $$ U_{k+1} = a + kb $$Karena $(k+1) - 1 = k$, maka kita dapat menulis ulang hasil ini sebagai:
$$ U_{k+1} = a + ((k+1)-1)b $$Ini membuktikan $P(k+1)$ benar. Dengan prinsip Induksi Matematika, rumus $U_n = a + (n-1)b$ berlaku untuk semua bilangan bulat positif $n$. Pemahaman terhadap pembuktian ini memperkuat keyakinan kita terhadap validitas rumus yang kita gunakan.
10.4. Latihan Terstruktur Menggabungkan $U_n$ dan $S_n$
Contoh 10: Integrasi Totalitas
Diketahui suatu barisan aritmatika memiliki suku pertama 18 dan suku ke-9 adalah 42. Tentukan (a) Suku ke-20 dan (b) Jumlah suku dari urutan ke-10 sampai urutan ke-20.
Bagian I: Menentukan $b$ dan $a$
$a = U_1 = 18$. $U_9 = 42$.
$U_9 = a + 8b \implies 42 = 18 + 8b$
$8b = 42 - 18 = 24 \implies b = 3$.
Bagian II (a): Suku ke-20 ($U_{20}$)
$U_{20} = a + 19b = 18 + 19(3) = 18 + 57 = 75$.
Bagian II (b): Jumlah Suku $U_{10}$ hingga $U_{20}$
Kita mencari $S_{10 \to 20}$. Ini adalah $S_{20} - S_9$.
1. Hitung $S_{20}$:
$S_{20} = \frac{20}{2} (a + U_{20}) = 10 (18 + 75) = 10 (93) = 930$.
2. Hitung $S_9$ (Jumlah 9 suku pertama, $U_9 = 42$):
$S_9 = \frac{9}{2} (a + U_9) = 4.5 (18 + 42) = 4.5 (60) = 270$.
3. Hitung $S_{10 \to 20}$:
$S_{10 \to 20} = S_{20} - S_9 = 930 - 270 = 660$.
Suku ke-20 adalah 75, dan jumlah suku dari urutan ke-10 sampai ke-20 adalah 660.
Dengan panduan langkah demi langkah yang terperinci ini, termasuk teori, rumus terbalik, aplikasi bertingkat, dan studi kasus yang mendalam, setiap pembaca kini dibekali kemampuan komprehensif untuk tidak hanya mencari barisan aritmatika tetapi juga untuk menggunakannya sebagai alat pemecah masalah yang efektif dalam berbagai disiplin ilmu.