Barisan dan Deret Kelas 11 SMA: Kajian Fundamental dan Aplikasi Mendalam

Pengantar Konsep Dasar Barisan Matematis

Barisan dalam matematika merupakan suatu daftar bilangan yang diatur berdasarkan urutan dan pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan disebut sebagai suku. Urutan suku ini sangat penting; posisi sebuah suku dalam barisan menentukan nilainya dan hubungannya dengan suku-suku lain. Konsep barisan menjadi fondasi utama dalam aljabar tingkat lanjut yang dipelajari secara mendalam di kelas 11.

Notasi dan Terminologi Dasar

Suku ke-n sebuah barisan dinotasikan dengan U_n. Indeks n menunjukkan posisi suku tersebut dalam urutan. Domain dari fungsi barisan adalah himpunan bilangan asli (1, 2, 3, ...), yang merepresentasikan posisi. Sementara itu, nilai dari U_n adalah hasil dari pemetaan fungsi tersebut.

• U_1: Suku pertama (sering juga dinotasikan sebagai a).
• U_n: Suku ke-n.
• n: Jumlah suku atau posisi suku.

Pola yang mendefinisikan barisan dapat sangat beragam, namun fokus utama di tingkat kelas 11 adalah dua jenis barisan yang memiliki pola keteraturan yang jelas dan baku: Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri. Keduanya memiliki mekanisme yang berbeda dalam menentukan hubungan antar suku yang berdekatan.

Pemahaman fundamental tentang bagaimana suku pertama berhubungan dengan suku kedua, dan seterusnya, adalah kunci. Jika hubungan ini melibatkan penambahan atau pengurangan nilai tetap, kita berhadapan dengan aritmetika. Jika hubungan ini melibatkan perkalian atau pembagian nilai tetap, kita berhadapan dengan geometri. Kesalahan dalam mengidentifikasi pola dasar ini akan berakibat fatal dalam menentukan rumus umum.

Selain barisan, konsep terkait yang tak terpisahkan adalah Deret (Series). Deret adalah hasil penjumlahan dari suku-suku suatu barisan. Misalnya, jika kita memiliki barisan U_1, U_2, U_3, ..., maka deretnya adalah S_n = U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n. Deret memungkinkan kita untuk menghitung total kumulatif dari suatu pertumbuhan atau penurunan yang teratur.

Pengenalan yang kuat pada terminologi ini adalah langkah awal yang krusial. Memahami perbedaan antara mencari suku ke-n (Barisan) dan mencari jumlah n suku pertama (Deret) adalah perbedaan mendasar antara U_n dan S_n.

Dalam konteks matematika modern, barisan sering kali dilihat sebagai fungsi diskrit, di mana inputnya adalah bilangan bulat positif. Pemahaman ini membantu menjembatani konsep barisan dengan fungsi kontinu yang telah dipelajari sebelumnya.

Sebagai contoh, barisan yang didefinisikan oleh rumus U_n = 2n + 1 akan menghasilkan suku-suku 3, 5, 7, 9, ... yang merupakan hasil dari memasukkan nilai n=1, n=2, n=3, dan seterusnya. Identifikasi rumus umum U_n adalah tujuan utama dalam analisis barisan.

Barisan dapat berupa barisan terbatas (memiliki jumlah suku yang ditentukan) atau barisan tak terbatas (berlanjut terus menerus). Dalam kurikulum Kelas 11, studi Deret Geometri Tak Hingga akan menjadi area yang memerlukan perhatian khusus karena membahas konsep konvergensi dan limit.

I. Barisan Aritmetika: Pola Penambahan Konstan

A. Definisi dan Beda (b)

Barisan aritmetika (BA) adalah barisan di mana selisih antara dua suku yang berurutan selalu konstan. Selisih konstan ini dinamakan beda (b). Beda dapat bernilai positif (barisan naik), negatif (barisan turun), atau nol (barisan konstan). Definisi matematis dari beda adalah:

Ini berarti bahwa untuk setiap suku, kita mendapatkan suku berikutnya dengan menambahkan beda ke suku sebelumnya. Jika U_1 = a, maka barisan tersebut adalah a, a+b, a+2b, a+3b, ...

B. Rumus Suku ke-n (U_n)

Dengan mengamati pola di atas, kita dapat menurunkan rumus umum untuk suku ke-n. Suku ke-n selalu melibatkan suku pertama a dan beda b yang ditambahkan sebanyak (n-1) kali.

Di mana:

• U_n: Suku ke-n yang dicari.
• a: Suku pertama (U_1).
• n: Posisi suku.
• b: Beda antar suku.

C. Derivasi Mendalam Rumus U_n

Mari kita lihat proses berpikir di balik rumus ini. Pemahaman derivasi ini sangat penting untuk aplikasi di soal-soal yang lebih kompleks.

1. U_1 = a
2. U_2 = U_1 + b = a + 1b
3. U_3 = U_2 + b = (a + b) + b = a + 2b
4. U_4 = U_3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

Perhatikan bahwa koefisien b selalu satu kurang dari indeks suku n. Oleh karena itu, jika kita mencari U_n, koefisien b adalah n-1, yang menghasilkan U_n = a + (n-1)b.

D. Suku Tengah Barisan Aritmetika

Untuk barisan aritmetika yang memiliki jumlah suku ganjil, terdapat suku tengah U_t. Posisi suku tengah t ditentukan oleh t = (n+1)/2. Nilai suku tengah dapat dihitung dengan rata-rata suku pertama dan suku terakhir:

E. Contoh Kasus Kompleks dan Penyelesaian

F. Interpolasi dan Sisipan Suku

Jika kita menyisipkan k bilangan di antara dua suku berurutan U_x dan U_{x+1} dalam sebuah barisan aritmetika, beda baru b' akan tercipta. Jika beda awal adalah b, maka beda yang baru adalah:

Penyisipan ini menciptakan barisan aritmetika baru dengan jumlah suku yang jauh lebih banyak. Jika barisan awal memiliki N suku, barisan baru akan memiliki N + (N-1)k suku.

Keakuratan dalam menghitung beda adalah hal yang sangat esensial. Barisan aritmetika adalah cerminan fungsi linear diskrit, dan kemiringan (gradient) dari fungsi linear tersebut analog dengan beda b. Setiap masalah barisan aritmetika dapat direduksi menjadi persamaan linear dua variabel (dengan a dan b sebagai variabel yang mungkin tidak diketahui).

Seringkali, soal ujian memberikan dua suku acak, misalnya U_5 dan U_{12}, dan meminta kita mencari U_{20}. Dalam kasus ini, kita harus menggunakan sistem persamaan linear:

U_{12} - U_5 = (a + 11b) - (a + 4b) = 7b. Dengan selisih suku, kita dapat langsung menemukan nilai b tanpa perlu mencari a terlebih dahulu. Strategi ini menghemat waktu dan meminimalisir kesalahan aljabar.

Barisan aritmetika adalah model yang sangat kuat untuk fenomena pertumbuhan konstan, seperti gaji bulanan yang meningkat secara tetap, atau akumulasi bunga tunggal, meskipun dalam konteks finansial, geometri lebih sering digunakan.

II. Deret Aritmetika: Jumlah Suku Berurutan

A. Definisi dan Rumus Jumlah n Suku Pertama (S_n)

Deret aritmetika adalah penjumlahan dari suku-suku dalam barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dilambangkan dengan S_n.

Rumus untuk menghitung S_n dikembangkan dari metode yang konon ditemukan oleh matematikawan muda Gauss, yaitu dengan menjumlahkan pasangan suku dari awal dan akhir.

S_n = U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_{n-1} + U_n

Jika kita membalik urutan penjumlahannya:

S_n = U_n + U_{n-1} + U_{n-2} + ... + U_2 + U_1

Ketika dua persamaan ini dijumlahkan, setiap pasangan (U_i + U_{n-i+1}) menghasilkan nilai yang sama, yaitu U_1 + U_n.

Karena ada n pasangan, maka 2S_n = n(U_1 + U_n). Sehingga, rumus utamanya adalah:

Dengan mensubstitusikan rumus U_n = a + (n-1)b ke dalam rumus di atas, kita mendapatkan bentuk alternatif yang sangat berguna jika suku terakhir U_n tidak diketahui:

B. Hubungan antara U_n dan S_n

Terdapat hubungan penting antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama. Suku ke-n dapat ditemukan dengan mengurangi jumlah n-1 suku pertama dari jumlah n suku pertama:

Hubungan ini sangat sering digunakan dalam soal-soal di mana rumus S_n diberikan dalam bentuk fungsi kuadrat terhadap n, dan kita diminta untuk mencari rumus U_n atau beda b.

C. Contoh Aplikasi Deret Aritmetika

D. Aplikasi Masalah Sehari-hari

Deret aritmetika sangat relevan dalam pemodelan masalah yang melibatkan kenaikan gaji tahunan tetap, penumpukan stok barang dengan jumlah yang sama setiap periode, atau penentuan total jarak yang ditempuh oleh benda dengan kecepatan yang bertambah secara linear (dalam interval waktu diskrit).

Sebagai contoh, masalah klasik tentang penumpukan balok. Jika tumpukan balok paling atas terdiri dari 5 balok, dan setiap tumpukan di bawahnya bertambah 2 balok, berapa total balok jika ada 12 tumpukan?

Barisan: 5, 7, 9, 11, ...

a=5, b=2, n=12.

S_{12} = \frac{12}{2} (2(5) + 11(2)) = 6 (10 + 22) = 6(32) = 192 balok.

Penting untuk diingat bahwa jika soal menyebutkan "total jarak" atau "jumlah hasil panen", maka kita harus menggunakan rumus Deret (S_n), bukan Barisan (U_n). Kebingungan antara kedua rumus ini adalah sumber kesalahan yang paling umum dihadapi siswa kelas 11.

Kajian mendalam tentang deret aritmetika juga mencakup sifat-sifat khusus yang muncul ketika suku-suku tersebut dipetakan pada bidang koordinat. Fungsi S_n selalu menghasilkan parabola kuadrat terhadap n, karena S_n adalah fungsi kuadrat. Sementara U_n adalah fungsi linear. Ini adalah kunci untuk mengenali jenis deret hanya dari rumusnya saja.

Analisis ini harus diperkuat dengan pemahaman bahwa meskipun deret aritmetika memiliki nilai beda yang konstan, pertambahan totalnya (jumlahnya) tidak konstan, melainkan bertambah secara kuadratik.

Penerapan dalam kehidupan nyata seringkali memerlukan interpretasi. Misalnya, jika jumlah kursi di baris depan adalah 15 dan setiap baris berikutnya bertambah 3 kursi, maka a=15 dan b=3. Mencari total kursi di 20 baris memerlukan S_{20}. Ini menunjukkan pentingnya mengalihkan data tekstual menjadi parameter matematis yang benar.

Deret aritmetika, sebagai bagian integral dari materi barisan kelas 11, mengajarkan prinsip akumulasi linear dan bagaimana menghitungnya secara efisien tanpa harus menjumlahkan setiap suku satu per satu. Penguasaan kedua rumus S_n—yang melibatkan U_n dan yang melibatkan b—adalah mutlak diperlukan.

III. Barisan Geometri: Pola Perkalian Konstan

A. Definisi dan Rasio (r)

Barisan geometri (BG) adalah barisan di mana perbandingan (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu konstan. Rasio konstan ini dilambangkan dengan r.

Definisi matematis dari rasio adalah:

Jika U_1 = a, maka barisan tersebut adalah a, ar, ar², ar³, .... Barisan geometri memodelkan pertumbuhan eksponensial (jika |r| > 1) atau peluruhan (jika 0 < |r| < 1).

B. Rumus Suku ke-n (U_n)

Suku ke-n dari barisan geometri ditentukan oleh suku pertama a yang dikalikan dengan rasio r sebanyak (n-1) kali.

Di mana:

• U_n: Suku ke-n.
• a: Suku pertama (U_1).
• n: Posisi suku.
• r: Rasio antar suku.

C. Derivasi dan Sifat U_n Geometri

Proses derivasinya mirip dengan aritmetika, namun menggunakan perkalian:

1. U_1 = a = ar^{1-1}
2. U_2 = U_1 \cdot r = ar^{2-1} = ar^1
3. U_3 = U_2 \cdot r = (ar) \cdot r = ar^{3-1} = ar^2

Secara umum, pangkat dari r selalu n-1.

Suku Tengah Geometri (U_t): Untuk barisan geometri dengan jumlah suku ganjil, suku tengahnya adalah rata-rata geometris dari suku pertama dan terakhir:

D. Contoh Kasus Geometri

E. Sisipan dalam Barisan Geometri

Jika disisipkan k bilangan di antara dua suku berurutan U_x dan U_{x+1}, rasio baru r' akan tercipta. Jika rasio awal adalah r, rasio baru adalah akar pangkat k+1 dari rasio awal:

Perlu dicatat bahwa dalam geometri, rasio yang disisipkan harus memiliki tanda yang sama dengan rasio aslinya, terutama jika k+1 adalah bilangan genap (untuk menghindari bilangan imajiner, meskipun dalam konteks Kelas 11 umumnya fokus pada rasio real positif).

Barisan geometri adalah fondasi bagi banyak konsep penting di luar matematika murni, termasuk perhitungan bunga majemuk, pertumbuhan populasi, dan peluruhan radioaktif. Kekuatan barisan geometri terletak pada sifat eksponensialnya, yang menunjukkan bahwa perubahan kecil pada rasio r dapat menghasilkan perbedaan nilai suku yang sangat besar ketika n meningkat.

Dalam analisis yang lebih dalam, kita harus mempertimbangkan kasus rasio negatif. Jika r < 0, barisan akan berosilasi, yaitu suku-suku berurutan akan berganti tanda (positif, negatif, positif, negatif, ...). Contoh: 2, -6, 18, -54, ... (r = -3).

Penggunaan logaritma menjadi penting ketika kita diminta mencari posisi suku n dari barisan geometri yang sangat besar, di mana n berada dalam pangkat. Untuk menyelesaikan persamaan U_n = ar^{n-1} terhadap n, kita harus menggunakan sifat-sifat logaritma, menjadikannya topik interdisipliner dengan materi kelas 10.

IV. Deret Geometri (Deret Terbatas)

A. Rumus Jumlah n Suku Pertama (S_n)

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku barisan geometri. Menurunkan rumus S_n geometri memerlukan trik aljabar dengan mengalikan deret tersebut dengan rasio r.

Misalkan: S_n = a + ar + ar² + ... + ar^{n-1} (Persamaan 1)

Kalikan Persamaan 1 dengan r:

rS_n = ar + ar² + ar³ + ... + ar^{n} (Persamaan 2)

Kurangi Persamaan 2 dari Persamaan 1:

S_n - rS_n = (a + ar + ... + ar^{n-1}) - (ar + ar² + ... + ar^{n})

Setelah eliminasi, yang tersisa adalah:

S_n (1 - r) = a - ar^{n}

Sehingga, rumus untuk jumlah n suku pertama adalah:

Kedua rumus ini sebenarnya ekuivalen, tetapi penggunaan yang tepat (memastikan penyebut positif) mempermudah perhitungan, terutama ketika rasionya pecahan.

B. Contoh Aplikasi S_n Geometri

C. Hubungan dan Perbedaan Krusial antara Deret Aritmetika dan Geometri

Perbedaan mendasar terletak pada jenis pertumbuhan atau akumulasi yang dimodelkan:

• Aritmetika (BA/DA): Pertumbuhan linear. Jumlah pertambahan antar suku (beda) konstan. U_n adalah fungsi linear, S_n adalah fungsi kuadrat.
• Geometri (BG/DG): Pertumbuhan eksponensial. Rasio perkalian antar suku (rasio) konstan. U_n adalah fungsi eksponen, S_n melibatkan fungsi eksponen yang kompleks.

Mengidentifikasi jenis barisan dari soal cerita adalah langkah pertama dan paling kritis. Jika terdapat kata kunci seperti "selisih tetap," "bertambah setiap bulan dengan jumlah X," atau "kenaikan linier," gunakan aritmetika. Jika terdapat kata kunci seperti "lipat ganda," "persentase pertumbuhan," "bunga majemuk," atau "rasio perbandingan," gunakan geometri.

Barisan dan deret geometri adalah alat esensial dalam analisis finansial dan statistik demografi, menunjukkan bagaimana suatu kuantitas dapat tumbuh atau menyusut secara dramatis dalam jangka waktu yang relatif singkat.

V. Deret Geometri Tak Hingga: Konvergensi dan Limit

Salah satu topik paling menarik dalam kajian barisan kelas 11 adalah Deret Geometri Tak Hingga (DGTH). Ini adalah deret yang jumlah sukunya tidak terbatas (n \rightarrow \infty).

A. Konsep Konvergensi dan Divergensi

Ketika kita menjumlahkan suku-suku hingga tak hingga, hasilnya bisa berupa nilai terbatas (konvergen) atau nilai tak terbatas (divergen).

• Divergen: Jika |r| \ge 1. Suku-suku terus bertambah besar atau tetap (misalnya 1, 2, 4, 8, ... atau 1, 1, 1, 1, ...). Jumlahnya mendekati tak hingga.
• Konvergen: Jika |r| < 1, yaitu -1 < r < 1. Suku-suku akan semakin kecil (mendekati nol). Jumlah totalnya akan mendekati suatu nilai batas yang terbatas.

Hanya deret geometri yang konvergen yang dapat dihitung jumlah tak hingganya.

B. Rumus Jumlah Tak Hingga (S_∞)

Jika |r| < 1, maka ketika n \rightarrow \infty, nilai r^n \rightarrow 0. Dengan menggunakan rumus S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}, suku r^n hilang, menyisakan:

C. Aplikasi: Bola Memantul dan Gerak Osilasi

Aplikasi paling umum dari DGTH adalah masalah bola memantul atau gerak osilasi yang semakin meredup. Gerakan ini melibatkan dua deret tak hingga: satu untuk lintasan turun dan satu untuk lintasan naik.

D. Deret Geometri Tak Hingga yang Bernilai Genap dan Ganjil

Kadang-kadang, soal meminta kita mencari jumlah suku-suku pada posisi ganjil saja atau posisi genap saja dari suatu DGTH.

Misalkan deretnya $a, ar, ar^2, ar^3, ...$

1. Suku Ganjil (U_1, U_3, U_5, ...):

Barisan baru: $a, ar^2, ar^4, ...$

Suku pertama baru: $a_{ganjil} = a$. Rasio baru: $r_{ganjil} = r^2$.

2. Suku Genap (U_2, U_4, U_6, ...):

Barisan baru: $ar, ar^3, ar^5, ...$

Suku pertama baru: $a_{genap} = ar$. Rasio baru: $r_{genap} = r^2$.

Jika kita menjumlahkan keduanya, kita akan mendapatkan $S_{\infty, ganjil} + S_{\infty, genap} = \frac{a}{1 - r^2} + \frac{ar}{1 - r^2} = \frac{a(1+r)}{(1-r)(1+r)} = \frac{a}{1-r}$, yang kembali ke rumus DGTH total. Ini menunjukkan konsistensi struktural yang mendalam dalam teori deret tak hingga.

Pemahaman konvergensi DGTH sangat penting karena memperkenalkan siswa pada konsep limit, yang akan menjadi dasar kalkulus. Menghitung jumlah yang tidak pernah berakhir, namun menghasilkan nilai yang terbatas, adalah salah satu ide matematis paling elegan yang dipelajari di Kelas 11.

Kondisi -1 < r < 1 harus selalu diverifikasi. Jika r=1, deretnya adalah a + a + a + ... yang jelas divergen. Jika r=-1, deretnya berosilasi (misalnya 1, -1, 1, -1, ...), dan jumlahnya tidak konvergen ke satu nilai tunggal.

VI. Notasi Sigma (Notasi Penjumlahan)

Notasi Sigma ($\Sigma$) adalah cara ringkas untuk menulis penjumlahan suku-suku deret. Notasi ini sangat penting karena menyediakan jembatan antara konsep Barisan/Deret yang spesifik (aritmetika, geometri) dengan konsep penjumlahan umum dalam matematika diskrit.

A. Bentuk Umum Notasi Sigma

Notasi sigma memiliki bentuk umum:

Di mana:

• $\Sigma$: Simbol penjumlahan (Sigma).
• $i$: Indeks penjumlahan (variabel yang berubah).
• $k$: Batas bawah (nilai awal $i$).
• $n$: Batas atas (nilai akhir $i$).
• $U_i$: Rumus suku ke-$i$.

Contoh: $\sum_{i=1}^{5} (2i-1)$ berarti $ (2(1)-1) + (2(2)-1) + (2(3)-1) + (2(4)-1) + (2(5)-1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$.

B. Sifat-Sifat Penting Notasi Sigma

Penggunaan notasi sigma memerlukan pemahaman yang kuat terhadap sifat-sifat transformasinya:

1. Sifat Konstanta: Konstanta $c$ dapat dikeluarkan dari notasi sigma. $$\sum_{i=1}^{n} c \cdot U_{i} = c \sum_{i=1}^{n} U_{i}$$
2. Sifat Penjumlahan/Pengurangan: $$\sum_{i=1}^{n} (U_{i} \pm V_{i}) = \sum_{i=1}^{n} U_{i} \pm \sum_{i=1}^{n} V_{i}$$
3. Sifat Pemisahan Batas: Jika $k \le m < n$, maka: $$\sum_{i=k}^{n} U_{i} = \sum_{i=k}^{m} U_{i} + \sum_{i=m+1}^{n} U_{i}$$
4. Sifat Perubahan Batas (Indeks Dummy): Kita dapat mengubah batas bawah dan batas atas asalkan rumus suku disesuaikan. Jika batas atas dan bawah digeser sejauh $p$, maka indeks dalam rumus harus digeser sebesar $-p$. $$\sum_{i=k}^{n} U_{i} = \sum_{j=k+p}^{n+p} U_{j-p}$$

C. Mengubah Barisan/Deret ke Notasi Sigma

Langkah kunci dalam notasi sigma adalah menemukan rumus U_n yang sesuai dengan deret yang diberikan. Jika deretnya adalah aritmetika atau geometri, kita menggunakan rumus $U_n$ yang sudah ada.

D. Rumus Penjumlahan Khusus (Deret Pangkat)

Meskipun bukan barisan aritmetika atau geometri, notasi sigma juga digunakan untuk menjumlahkan deret pangkat, yang sering muncul dalam soal-soal tingkat lanjut. Beberapa rumus standar yang perlu diketahui meliputi:

1. Jumlah konstanta: $$\sum_{i=1}^{n} c = n \cdot c$$
2. Jumlah $n$ bilangan asli pertama: $$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$ (Ini adalah rumus $S_n$ aritmetika dengan $a=1, b=1$)
3. Jumlah kuadrat $n$ bilangan asli pertama: $$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Penguasaan notasi sigma memungkinkan manipulasi deret yang sangat fleksibel, terutama saat batas-batas penjumlahan perlu disesuaikan atau ketika dua deret perlu digabungkan menjadi satu. Ini adalah alat penting dalam transisi dari aljabar diskrit ke kalkulus integral, di mana penjumlahan (summation) menjadi konsep integral.

VII. Aplikasi Lanjutan dan Kombinasi Konsep Barisan

Setelah menguasai dasar-dasar Barisan Aritmetika (BA), Deret Aritmetika (DA), Barisan Geometri (BG), dan Deret Geometri (DG), siswa Kelas 11 perlu mampu menganalisis masalah yang menggabungkan kedua jenis barisan tersebut atau yang memerlukan pemecahan masalah dengan sistem persamaan yang kompleks.

A. Masalah Campuran: Aritmetika dan Geometri

Beberapa soal mungkin melibatkan tiga bilangan yang membentuk Barisan Aritmetika (BA) dan jika salah satu suku diubah, bilangan-bilangan tersebut menjadi Barisan Geometri (BG).

Kunci untuk BA (3 suku): Tiga suku dapat direpresentasikan sebagai $a-b, a, a+b$. (Memungkinkan eliminasi variabel $b$ dengan cepat jika dijumlahkan).

Kunci untuk BG (3 suku): Tiga suku $x, y, z$ memenuhi $y^2 = xz$.

B. Deret Bertingkat (Bukan Aritmetika atau Geometri Murni)

Barisan bertingkat adalah barisan di mana beda antara suku-suku tidak konstan (bukan BA), tetapi beda dari beda tersebut (beda tingkat dua) konstan. Barisan ini dihubungkan dengan fungsi kuadrat.

Contoh: 2, 5, 10, 17, 26, ...

Beda tingkat 1: 3, 5, 7, 9, ... (Barisan Aritmetika)

Beda tingkat 2: 2, 2, 2, ... (Konstan)

Rumus umum $U_n$ untuk barisan kuadratik selalu berbentuk: $U_n = An^2 + Bn + C$. Koefisien $A, B, C$ ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan yang melibatkan beda tingkat 2 ($2A$), beda tingkat 1 suku pertama ($3A+B$), dan suku pertama ($A+B+C$).

C. Aplikasi Finansial: Bunga Majemuk

Barisan geometri adalah model fundamental untuk bunga majemuk, karena pertumbuhan dihitung berdasarkan nilai saat ini (prinsip perkalian).

Jika $M_0$ adalah modal awal, $i$ adalah suku bunga per periode, dan $n$ adalah periode waktu, maka modal akhir $M_n$ mengikuti pola geometri:

Ini secara langsung merupakan rumus suku ke-n Barisan Geometri, di mana $a = M_0(1+i)$, dan rasio $r = 1+i$. Pemahaman ini menghubungkan materi barisan kelas 11 dengan ekonomi dan matematika bisnis.

D. Anuitas dan Cicilan (Perluasan Konsep)

Meskipun seringkali dipelajari terpisah, perhitungan anuitas (pembayaran berkala) adalah aplikasi kompleks yang melibatkan Deret Geometri. Pembayaran yang dilakukan dan bunga yang terakumulasi keduanya membentuk deret geometri yang berbeda. Mencari nilai sekarang dari serangkaian pembayaran di masa depan memerlukan penjumlahan deret geometri yang menurun (karena diskonto). Ini adalah bukti bahwa Deret Geometri adalah salah satu alat komputasi terpenting dalam matematika terapan.

Inti dari barisan kelas 11 adalah kemampuan untuk melihat pola dan mentransformasikannya menjadi rumus matematis yang dapat diprediksi, baik itu pola penambahan (aritmetika) atau pola perkalian (geometri). Kemampuan untuk beralih secara lancar antara $U_n$ dan $S_n$ untuk kedua jenis barisan adalah tolok ukur penguasaan materi ini.

Kajian yang mendalam ini menekankan bahwa Barisan dan Deret bukan hanya kumpulan rumus hafalan, melainkan kerangka kerja logis untuk memahami bagaimana kuantitas berubah secara teratur sepanjang waktu atau posisi. Dari pemahaman linear (aritmetika) hingga eksponensial (geometri), materi ini memberikan dasar analitis yang kuat untuk studi matematika tingkat universitas.

Setiap sub-bagian dari barisan kelas 11, mulai dari penentuan beda hingga analisis konvergensi deret tak hingga, memerlukan ketelitian aljabar dan pemikiran logis yang terstruktur. Penguasaan menyeluruh atas semua contoh dan derivasi memastikan kesiapan dalam menghadapi variasi soal, termasuk soal penalaran dan aplikasi kehidupan nyata yang seringkali disajikan dalam format yang membutuhkan sintesis dari berbagai konsep yang telah dibahas.

Penelitian tentang barisan dan deret harus terus diperluas hingga ke ranah deret harmonik dan deret pangkat, yang meskipun di luar cakupan baku kelas 11, memperkaya pemahaman tentang spektrum luas pola matematis yang ada.