Barisan Terbatas: Pondasi Analisis Real

Pendahuluan: Definisi dan Konteks Barisan

Dalam studi Analisis Matematika Real, barisan (sequence) merupakan salah satu objek studi fundamental. Barisan didefinisikan sebagai fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan asli ($\mathbb{N}$) dan kodomainnya biasanya adalah himpunan bilangan real ($\mathbb{R}$). Artinya, barisan adalah daftar tak hingga dari angka-angka yang diatur dalam urutan tertentu, di mana setiap suku memiliki indeks unik yang sesuai dengan bilangan asli.

Notasi barisan umumnya ditulis sebagai $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, atau lebih ringkas $(x_n)$. Setiap suku $x_n$ dihasilkan dengan mengganti $n$ (indeks) dengan bilangan asli. Meskipun barisan adalah daftar tak hingga, perilaku kolektif dari barisan tersebut, terutama saat indeks $n$ menuju tak hingga, menjadi fokus utama analisis. Pertanyaan kunci yang selalu diajukan adalah: apakah barisan tersebut mendekati suatu nilai tertentu? Atau dengan kata lain, apakah barisan tersebut konvergen?

Untuk menjawab pertanyaan tentang konvergensi, kita memerlukan konsep pembatas atau kontrol terhadap ukuran suku-suku barisan. Di sinilah konsep 'keterbatasan' (boundedness) memainkan peran vital. Keterbatasan menyediakan kerangka kerja di mana fluktuasi suku-suku barisan tidak boleh melampaui batas tertentu. Tanpa adanya kontrol ini, sifat-sifat konvergensi yang elegan dan penting dalam matematika tidak dapat dijamin. Barisan terbatas berfungsi sebagai prasyarat bagi banyak teorema penting yang membentuk tulang punggung Analisis Real.

Studi mendalam mengenai barisan terbatas tidak hanya mencakup definisi formalnya, tetapi juga hubungannya yang kompleks dengan barisan monoton, barisan Cauchy, dan yang paling fundamental, Teorema Bolzano-Weierstrass. Memahami keterbatasan adalah langkah awal yang mutlak diperlukan sebelum melangkah lebih jauh ke dalam dunia konvergensi dan kelengkapan ruang metrik, termasuk kelengkapan himpunan bilangan real.

Konsep Formal Barisan Terbatas

Definisi Matematis Barisan Terbatas

Secara intuitif, sebuah barisan disebut terbatas jika semua suku-sukunya dapat 'ditampung' di antara dua bilangan real, satu di atas dan satu di bawah. Namun, dalam konteks matematika formal, definisi ini perlu direpresentasikan dengan ketepatan yang tinggi. Keterbatasan barisan $(x_n)$ dibagi menjadi dua aspek: terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.

1. Terbatas Ke Atas (Bounded Above):

Barisan $(x_n)$ dikatakan terbatas ke atas jika terdapat sebuah bilangan real $M$ (disebut batas atas) sedemikian rupa sehingga $x_n \leq M$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Dengan kata lain, tidak peduli seberapa jauh kita melanjutkan barisan, tidak ada suku yang akan melebihi nilai $M$.

2. Terbatas Ke Bawah (Bounded Below):

Barisan $(x_n)$ dikatakan terbatas ke bawah jika terdapat sebuah bilangan real $m$ (disebut batas bawah) sedemikian rupa sehingga $x_n \geq m$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$. Artinya, semua suku dalam barisan berada di atas atau sama dengan nilai $m$.

3. Barisan Terbatas (Bounded):

Barisan $(x_n)$ disebut terbatas jika ia terbatas ke atas sekaligus terbatas ke bawah. Ini berarti, kita dapat menemukan bilangan real $m$ dan $M$ sedemikian rupa sehingga $m \leq x_n \leq M$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$.

Formulasi Nilai Mutlak

Definisi keterbatasan sering kali lebih ringkas diungkapkan menggunakan nilai mutlak. Sebuah barisan $(x_n)$ terbatas jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan real $K > 0$ sedemikian sehingga $|x_n| \leq K$ untuk semua $n \in \mathbb{N}$.

Formulasi nilai mutlak ini secara implisit mencakup batas atas dan batas bawah, karena kondisi $|x_n| \leq K$ ekuivalen dengan $-K \leq x_n \leq K$. Jadi, dalam hal ini, $M=K$ dan $m=-K$. Penggunaan batas tunggal $K$ yang positif ini sering kali lebih disukai dalam pembuktian formal karena menyederhanakan aljabar.

Contoh Ilustratif

1. Barisan Terbatas: Barisan $(x_n) = (1/n)$. Suku-sukunya adalah $1, 1/2, 1/3, 1/4, \dots$.
   • Batas Bawah: $m=0$, karena $1/n > 0$ untuk semua $n$.
   • Batas Atas: $M=1$, karena suku pertama adalah yang terbesar.
   • Barisan ini terbatas.
2. Barisan Terbatas: Barisan osilasi $(x_n) = ((-1)^n)$. Suku-sukunya adalah $-1, 1, -1, 1, \dots$.
   • Batas Bawah: $m=-1$.
   • Batas Atas: $M=1$.
   • Barisan ini terbatas, meskipun tidak konvergen.
3. Barisan Tidak Terbatas: Barisan $(x_n) = (n^2)$. Suku-sukunya adalah $1, 4, 9, 16, \dots$.
   • Barisan ini terbatas ke bawah (misalnya $m=1$), tetapi tidak terbatas ke atas, karena $n^2$ dapat menjadi sebesar mungkin.

Keterbatasan sebagai Syarat Penting untuk Konvergensi

Salah satu hasil terpenting yang menghubungkan keterbatasan dengan konvergensi dalam Analisis Real adalah teorema dasar yang menyatakan bahwa setiap barisan yang konvergen pasti terbatas. Konsep ini menunjukkan bahwa keterbatasan adalah kondisi yang harus dipenuhi oleh barisan agar memiliki limit yang pasti.

Teorema: Setiap Barisan Konvergen adalah Terbatas

Rangkaian Pembuktian Teorema:

Jika $(x_n)$ konvergen ke $L$, maka berdasarkan definisi konvergensi ($\epsilon$-N), untuk setiap $\epsilon > 0$, terdapat bilangan asli $N$ sedemikian rupa sehingga jika $n > N$, maka $|x_n - L| < \epsilon$. Kita dapat memilih $\epsilon = 1$.

1. Pilih $\epsilon = 1$. Terdapat $N \in \mathbb{N}$ sehingga untuk semua $n > N$, berlaku $|x_n - L| < 1$.
2. Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan segitiga terbalik, $|x_n| = |x_n - L + L| \leq |x_n - L| + |L|$.
3. Untuk $n > N$, kita dapatkan $|x_n| < 1 + |L|$.
4. Ini berarti bahwa semua suku barisan setelah indeks $N$ terbatas oleh $1 + |L|$.
5. Barisan $(x_n)$ memiliki suku-suku yang tersisa yang berjumlah terhingga: $x_1, x_2, \dots, x_N$. Karena jumlahnya terhingga, kita bisa mencari nilai maksimum dari nilai mutlak mereka: $K_1 = \max \{|x_1|, |x_2|, \dots, |x_N|\}$.
6. Kita definisikan $K = \max \{K_1, 1 + |L|\}$.
7. Dengan demikian, untuk semua $n \in \mathbb{N}$, kita memiliki $|x_n| \leq K$. Oleh karena itu, barisan $(x_n)$ adalah barisan terbatas.

Teorema ini memiliki konsekuensi penting: jika kita menemukan sebuah barisan yang tidak terbatas (divergen tak hingga), kita secara otomatis tahu bahwa barisan tersebut tidak mungkin konvergen. Namun, penting untuk dicatat bahwa kebalikannya tidak selalu berlaku. Barisan yang terbatas tidak selalu konvergen. Contoh klasik adalah barisan osilasi $((-1)^n)$, yang terbatas tetapi tidak memiliki limit tunggal.

Peran Batas Superior dan Inferior (Lim Sup dan Lim Inf)

Ketika berhadapan dengan barisan terbatas yang mungkin tidak konvergen, kita menggunakan konsep batas superior (limit supremum) dan batas inferior (limit infimum). Konsep ini memberikan batasan konvergen yang paling ekstrem dari barisan tersebut.

Untuk barisan terbatas $(x_n)$, kita definisikan:

• Limit Superior ($\limsup x_n$): Batas atas terkecil dari himpunan semua titik limit dari barisan $(x_n)$.
• Limit Inferior ($\liminf x_n$): Batas bawah terbesar dari himpunan semua titik limit dari barisan $(x_n)$.

Kehadiran $\limsup$ dan $\liminf$ dijamin jika barisan tersebut terbatas. Jika $\limsup x_n = \liminf x_n$, maka barisan tersebut konvergen. Jika barisan terbatas tetapi $\limsup \neq \liminf$, maka barisan tersebut divergen melalui osilasi (seperti $((-1)^n)$, di mana $\limsup=1$ dan $\liminf=-1$).

Keterbatasan dan Monotonisitas: Teorema Konvergensi Monoton

Konsep keterbatasan mencapai kekuatan penuhnya ketika digabungkan dengan konsep monotonisitas. Monotonisitas adalah sifat yang menunjukkan bahwa suku-suku barisan selalu bergerak dalam satu arah—tidak pernah berbalik arah.

Definisi Barisan Monoton

• Barisan Naik (Increasing): $x_n \leq x_{n+1}$ untuk semua $n \in \mathbb{N}$.
• Barisan Turun (Decreasing): $x_n \geq x_{n+1}$ untuk semua $n \in \mathbb{N}$.
• Barisan disebut monoton jika ia naik atau turun.

Monotonisitas saja tidak cukup untuk menjamin konvergensi (misalnya, barisan $(n)$ adalah monoton naik tetapi tidak konvergen). Di sinilah keterbatasan menjadi jembatan menuju konvergensi.

Teorema Konvergensi Monoton (TKBM)

Teorema Konvergensi Monoton (TKBM) adalah salah satu hasil terpenting dalam Analisis Real yang menghubungkan keterbatasan, monotonisitas, dan konvergensi.

TKBM menunjukkan bahwa di himpunan bilangan real $\mathbb{R}$, jika barisan tersebut terkontrol arahnya (monoton) dan terkontrol ukurannya (terbatas), maka ia pasti memiliki 'tempat parkir' atau limit. Teorema ini sepenuhnya bergantung pada Sifat Kelengkapan dari $\mathbb{R}$ (Completeness Property), yaitu, setiap himpunan tak kosong dari bilangan real yang terbatas ke atas memiliki supremum di $\mathbb{R}$.

Implikasi Kelengkapan dan TKBM

Tanpa sifat kelengkapan, TKBM tidak akan berlaku. Misalnya, jika kita bekerja hanya dalam himpunan bilangan rasional ($\mathbb{Q}$), barisan monoton dan terbatas dalam $\mathbb{Q}$ belum tentu konvergen ke bilangan rasional. Ambil contoh barisan yang didefinisikan secara rekursif yang konvergen ke $\sqrt{2}$. Barisan ini monoton naik dan terbatas di $\mathbb{Q}$, tetapi limitnya ($\sqrt{2}$) berada di luar $\mathbb{Q}$.

Fakta bahwa barisan terbatas monoton di $\mathbb{R}$ harus konvergen menegaskan bahwa tidak ada 'lubang' (gaps) dalam bilangan real. Keterbatasan barisan di sini menjamin bahwa suku-suku barisan tersebut tidak akan melarikan diri ke tak hingga, sementara monotonisitas menjamin bahwa suku-suku tersebut harus berkumpul ke suatu nilai, bukan berosilasi.

TKBM sering digunakan untuk membuktikan konvergensi barisan yang didefinisikan secara rekursif, di mana menghitung limit secara eksplisit sulit, tetapi membuktikan monotonisitas dan keterbatasan relatif mudah.

Barisan Terbatas dan Teorema Bolzano-Weierstrass

Sementara TKBM membutuhkan sifat monotonisitas selain keterbatasan, Teorema Bolzano-Weierstrass (TBW) mengungkapkan sifat yang lebih mendalam mengenai keterbatasan saja. TBW adalah teorema fundamental yang membuktikan bahwa setiap barisan yang terbatas, meskipun tidak konvergen, harus mengandung 'benih' konvergensi di dalamnya.

Definisi Barisan Bagian (Subsequences)

Untuk memahami TBW, kita harus memahami konsep barisan bagian. Jika $(x_n)$ adalah barisan, barisan bagian $(x_{n_k})$ adalah barisan yang dibentuk dari suku-suku $(x_n)$ di mana indeks $n_k$ adalah barisan bilangan asli yang naik secara tegas, yaitu $n_1 < n_2 < n_3 < \dots$.

Contoh: Jika $(x_n) = (1, 1/2, 1/3, 1/4, \dots)$, barisan bagian genapnya bisa berupa $(x_{2k}) = (1/2, 1/4, 1/6, \dots)$.

Pernyataan Teorema Bolzano-Weierstrass

TBW sangat kuat karena ia menghilangkan kebutuhan akan monotonisitas. Barisan osilasi $((-1)^n)$, yang terbatas tetapi tidak konvergen, jelas memiliki barisan bagian yang konvergen:

• Barisan bagian indeks genap: $(x_{2k}) = (1, 1, 1, \dots)$, konvergen ke 1.
• Barisan bagian indeks ganjil: $(x_{2k-1}) = (-1, -1, -1, \dots)$, konvergen ke -1.

Teorema ini menjamin bahwa, selama suku-suku barisan tetap berada dalam wilayah yang terbatas, mereka tidak dapat menghindar dari berkumpul di suatu tempat; setidaknya beberapa dari mereka harus berkumpul menuju titik limit.

Ketergantungan pada Sifat Kelengkapan

Pembuktian TBW biasanya dilakukan melalui metode interval bersarang (Nested Intervals) atau, secara ekuivalen, menggunakan TKBM. Pembuktian berbasis interval bersarang secara eksplisit memanfaatkan properti bahwa setiap interval tertutup dan terbatas $[a_k, b_k]$ di $\mathbb{R}$ yang menyusut dan memenuhi $a_k \leq a_{k+1}$ dan $b_{k+1} \leq b_k$, pasti memiliki setidaknya satu titik yang sama di dalamnya ($\bigcap_{k=1}^{\infty} [a_k, b_k] \neq \emptyset$).

Jika barisan $(x_n)$ terbatas, ia berada dalam interval tertutup $[m, M]$. Kita dapat membagi interval ini menjadi dua, dan salah satu sub-intervalnya harus berisi suku-suku barisan tak hingga banyaknya. Kita teruskan proses pembagian (metode biseksi) ini, yang menghasilkan barisan interval bersarang yang panjangnya mendekati nol. Titik unik yang tersisa di perpotongan semua interval adalah titik limit dari barisan bagian yang kita konstruksi.

Dengan demikian, TBW adalah konsekuensi langsung lain dari Sifat Kelengkapan $\mathbb{R}$. Keterbatasan adalah prasyarat geometris dan aljabar yang membuat TBW mungkin terjadi.

Pentingnya Titik Limit

Titik limit (atau nilai tumpukan) adalah nilai yang 'didatangi' oleh tak terhingga banyaknya suku barisan. TBW memastikan bahwa setiap barisan terbatas harus memiliki setidaknya satu titik limit. Jika barisan itu sendiri konvergen, ia hanya memiliki satu titik limit. Jika barisan itu terbatas tetapi divergen, ia memiliki setidaknya dua titik limit, yang diwakili oleh $\limsup$ dan $\liminf$ yang berbeda.

TBW bukan hanya teorema keberadaan; ia adalah fondasi untuk memahami kekompakan dalam topologi yang lebih umum. Dalam ruang metrik umum, himpunan yang terbatas dan tertutup (kompak) adalah himpunan di mana setiap barisan memiliki barisan bagian yang konvergen. Di $\mathbb{R}$, himpunan kompak ekuivalen dengan himpunan tertutup dan terbatas.

Barisan Terbatas dan Barisan Cauchy

Konvergensi didefinisikan dengan mengacu pada limit $L$ yang sudah diketahui: suku-suku barisan harus mendekati $L$. Barisan Cauchy (atau barisan fundamental) memberikan kriteria konvergensi internal, yang tidak memerlukan pengetahuan tentang limit $L$. Kriteria Cauchy sangat penting karena memungkinkan kita membuktikan konvergensi hanya dengan melihat bagaimana suku-suku barisan saling mendekati satu sama lain.

Definisi Barisan Cauchy

Barisan $(x_n)$ disebut Barisan Cauchy jika, untuk setiap $\epsilon > 0$, terdapat bilangan asli $N$ sedemikian rupa sehingga jika $n \geq N$ dan $m \geq N$, maka jarak antara suku-suku tersebut kurang dari $\epsilon$: $|x_n - x_m| < \epsilon$.

Hubungan Keterbatasan dan Cauchy

Hubungan antara keterbatasan dan Barisan Cauchy sangat erat:

Rangkaian Pembuktian:

1. Ambil Barisan Cauchy $(x_n)$. Pilih $\epsilon=1$. Maka terdapat $N$ sedemikian sehingga jika $n \geq N$, maka $|x_n - x_N| < 1$.
2. Dengan pertidaksamaan segitiga, $|x_n| = |x_n - x_N + x_N| \leq |x_n - x_N| + |x_N|$.
3. Karena $|x_n - x_N| < 1$, maka $|x_n| < 1 + |x_N|$ untuk semua $n \geq N$.
4. Kita kemudian membatasi suku-suku awal $x_1, \dots, x_{N-1}$ dengan $K_1 = \max \{|x_1|, \dots, |x_{N-1}|\}$.
5. Batas total $K = \max \{K_1, 1 + |x_N|\}$.
6. Dengan demikian, $|x_n| \leq K$ untuk semua $n$, membuktikan bahwa Barisan Cauchy adalah terbatas.

Karena Barisan Cauchy adalah terbatas, maka menurut Teorema Bolzano-Weierstrass, Barisan Cauchy harus memiliki barisan bagian yang konvergen. Fakta ini, bersama dengan sifat Barisan Cauchy, secara kolektif membuktikan Teorema Kelengkapan Cauchy di $\mathbb{R}$:

Kesimpulan dari semua teorema ini adalah sebuah rantai logika yang kuat di $\mathbb{R}$:

Jika kita menambahkan monotonisitas, kita mendapatkan: $\text{Monoton} + \text{Terbatas} \iff \text{Konvergen}$. Ini menunjukkan peran sentral keterbatasan; ia adalah kondisi yang diperlukan untuk semua jenis konvergensi yang terdefinisi dengan baik.

Keterbatasan dalam Barisan Fungsi

Dalam analisis yang lebih maju (misalnya, analisis fungsional), konsep keterbatasan diperluas ke barisan fungsi. Sebuah barisan fungsi $(f_n)$ dikatakan terbatas titik demi titik (pointwise bounded) pada domain $D$ jika, untuk setiap $x \in D$, barisan bilangan $(f_n(x))$ adalah barisan terbatas. Jika keterbatasan ini dapat seragamkan, kita mendapatkan konsep yang lebih kuat: terbatas seragam (uniformly bounded). Barisan fungsi $(f_n)$ terbatas seragam pada $D$ jika terdapat $K > 0$ sedemikian sehingga $|f_n(x)| \leq K$ untuk semua $x \in D$ dan untuk semua $n \in \mathbb{N}$. Konsep ini sangat penting dalam Teorema Arzela-Ascoli, yang merupakan analog Bolzano-Weierstrass untuk ruang fungsi.

Sifat-Sifat Aljabar dan Kombinasi Barisan Terbatas

Barisan terbatas memiliki sifat aljabar yang mudah dipertahankan ketika digabungkan melalui operasi dasar. Sifat-sifat ini memastikan bahwa kita dapat memanipulasi barisan terbatas tanpa khawatir barisan hasil akan "meledak" ke tak hingga.

Penjumlahan dan Pengurangan

Pembuktian Singkat: Karena $(x_n)$ terbatas, terdapat $K_x$ sehingga $|x_n| \leq K_x$. Karena $(y_n)$ terbatas, terdapat $K_y$ sehingga $|y_n| \leq K_y$. Maka, menggunakan pertidaksamaan segitiga:

Karena $K_x + K_y$ adalah bilangan real, barisan hasil jumlah tersebut terbatas oleh $K_x + K_y$. Logika yang sama berlaku untuk pengurangan.

Perkalian

Pembuktian Singkat: Menggunakan batas $K_x$ dan $K_y$, kita dapatkan:

Karena $K_x K_y$ adalah bilangan real, barisan hasil kali tersebut terbatas.

Sifat perkalian ini sangat berguna karena menyiratkan bahwa mengalikan barisan terbatas dengan konstanta skalar $\alpha \in \mathbb{R}$ menghasilkan barisan baru yang tetap terbatas, karena $(x_n)$ terbatas dan $(\alpha)$ adalah barisan konstan (dan oleh karena itu terbatas).

Pembagian

Operasi pembagian sedikit lebih kompleks. Jika $(x_n)$ terbatas dan $(y_n)$ terbatas, barisan hasil bagi $(x_n / y_n)$ belum tentu terbatas, karena $y_n$ bisa mendekati nol. Agar barisan hasil bagi terbatas, kita memerlukan syarat tambahan pada barisan penyebut.

Keterbatasan barisan pembilang $(x_n)$ menjamin $|x_n| \leq K_x$. Syarat $|y_n| \geq \delta$ menjamin bahwa $1/|y_n| \leq 1/\delta$. Maka:

Karena $K_x/\delta$ adalah bilangan real positif, barisan hasil bagi tersebut terbatas.

Jika barisan $(y_n)$ konvergen ke limit $L \neq 0$, maka sifat konvergensi secara otomatis menjamin bahwa $(y_n)$ terbatas ke bawah dari nol (setidaknya setelah indeks tertentu $N$), sehingga menjamin keterbatasan hasil bagi.

Barisan Terbatas dan Aplikasi Komputasi

Dalam aplikasi komputasi, seperti metode iterasi numerik (misalnya, iterasi titik tetap), keterbatasan barisan yang dihasilkan sangat penting. Jika barisan iterasi diketahui terbatas, ini mengurangi risiko luapan (overflow) dan merupakan indikasi awal stabilitas metode. Jika barisan iterasi, katakanlah $(x_{k+1} = f(x_k))$, konvergen, keterbatasan dijamin. Namun, seringkali lebih mudah membuktikan bahwa iterasi tersebut terbatas dalam interval tertentu terlebih dahulu, baru kemudian membuktikan konvergensi (biasanya dengan menunjukkan bahwa iterasi tersebut juga kontraktif atau monoton).

Keterbatasan dalam Prinsip Interval Bersarang

Seperti yang telah disinggung dalam pembahasan Bolzano-Weierstrass, keterbatasan memainkan peran utama dalam Prinsip Interval Bersarang (Nested Intervals Property), yang merupakan formulasi lain yang setara dengan Sifat Kelengkapan $\mathbb{R}$.

Definisi Formal Interval Bersarang

Kita memiliki barisan interval tertutup $I_n = [a_n, b_n]$ yang disebut bersarang jika:

1. $I_{n+1} \subseteq I_n$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ (penyusutan).
2. Panjang interval $b_n - a_n$ menuju nol saat $n \to \infty$.

Barisan Batas dan Keterbatasan

Prinsip Interval Bersarang secara inheren terkait dengan barisan terbatas:

• Barisan titik ujung kiri $(a_n)$ adalah monoton naik: $a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \dots$.
• Barisan titik ujung kanan $(b_n)$ adalah monoton turun: $b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq \dots$.

Karena $I_{n+1} \subseteq I_n$, kita tahu bahwa $a_n \leq b_n$ untuk semua $n$. Lebih penting lagi, setiap $a_n$ dibatasi ke atas oleh $b_1$, dan setiap $b_n$ dibatasi ke bawah oleh $a_1$.

Dengan demikian, barisan $(a_n)$ adalah monoton naik dan terbatas ke atas (oleh $b_1$). Berdasarkan Teorema Konvergensi Monoton, $(a_n)$ harus konvergen ke suatu limit $a$. Demikian pula, barisan $(b_n)$ adalah monoton turun dan terbatas ke bawah (oleh $a_1$), sehingga harus konvergen ke suatu limit $b$.

Karena panjang interval $b_n - a_n \to 0$, maka limit $a$ dan $b$ harus sama, sehingga $a = b = x_0$. Titik konvergen tunggal $x_0$ ini adalah titik perpotongan yang dijamin oleh prinsip tersebut.

Di sini, keterbatasan barisan batas $(a_n)$ dan $(b_n)$ dijamin oleh fakta bahwa interval awal $I_1 = [a_1, b_1]$ itu sendiri terbatas. Tanpa interval yang terbatas, barisan titik ujung mungkin tidak terbatas, dan konvergensi tidak dapat dijamin. Prinsip ini sekali lagi menegaskan bahwa keterbatasan struktural adalah fondasi yang memungkinkan konvergensi di $\mathbb{R}$.

Analisis Barisan Terbatas pada Definisi Rekursif

Banyak barisan penting dalam matematika terapan dan murni didefinisikan secara rekursif, di mana suku berikutnya bergantung pada suku sebelumnya. Analisis keterbatasan barisan rekursif sering kali menjadi langkah pertama yang penting untuk membuktikan konvergensi.

Contoh Penerapan: Barisan Iterasi

Misalkan barisan didefinisikan oleh $x_1 = 1$ dan $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$. Barisan ini jelas naik dan suku-sukunya positif. Untuk membuktikan konvergensi, kita harus membuktikan dua hal:

1. Monotonisitas: (Misalnya, menggunakan induksi, membuktikan $x_{n+1} \geq x_n$).
2. Keterbatasan: Menemukan batas atas $M$.

Jika kita asumsikan barisan ini konvergen ke $L$, maka $L = \sqrt{2 + L}$. Menyelesaikan persamaan ini memberikan $L^2 - L - 2 = 0$, yang solusinya adalah $L=2$ atau $L=-1$. Karena semua suku positif, limitnya harus $L=2$. Limit hipotesis ini memberikan petunjuk tentang batas atas.

Membuktikan Keterbatasan:

Kita duga $M=2$ adalah batas atas. Kita buktikan dengan induksi bahwa $x_n \leq 2$ untuk semua $n$.

• Kasus Dasar (n=1): $x_1 = 1$, dan $1 \leq 2$. Benar.
• Langkah Induksi: Asumsikan $x_k \leq 2$ untuk $k$ tertentu.
• Kita ingin membuktikan $x_{k+1} \leq 2$: $$ x_{k+1} = \sqrt{2 + x_k} $$ Karena $x_k \leq 2$ (berdasarkan hipotesis induksi), maka: $$ x_{k+1} \leq \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 $$

Karena barisan ini monoton naik dan terbatas ke atas (oleh 2), Teorema Konvergensi Monoton menjamin bahwa barisan tersebut konvergen. Keterbatasan adalah bagian krusial yang mencegah barisan $(x_n)$ "melarikan diri" ke tak hingga, meskipun ia terus meningkat.

Keterbatasan dalam Analisis Fraktal dan Iterasi Kompleks

Konsep keterbatasan barisan juga meluas ke bilangan kompleks dan geometri fraktal. Himpunan Mandelbrot, misalnya, didefinisikan berdasarkan keterbatasan barisan yang dihasilkan dari iterasi $z_{n+1} = z_n^2 + c$, di mana $z_0 = 0$. Suatu bilangan kompleks $c$ termasuk dalam Himpunan Mandelbrot jika dan hanya jika barisan modulus $(|z_n|)$ yang dihasilkan oleh iterasi tersebut adalah barisan terbatas. Jika $|z_n|$ melampaui batas tertentu (biasanya 2), barisan tersebut pasti akan divergen ke tak hingga, yang berarti $c$ berada di luar himpunan.

Dalam konteks ini, keterbatasan adalah kriteria diskriminasi yang memisahkan perilaku dinamis yang stabil (terbatas) dari perilaku yang tidak stabil (divergen), membentuk dasar visual yang kompleks dari fraktal tersebut.

Keterbatasan dan Ruang Metrik Umum

Meskipun kita fokus pada $\mathbb{R}$ dengan metrik standar (nilai mutlak), konsep keterbatasan dapat digeneralisasi ke ruang metrik yang lebih umum $(X, d)$, di mana $d$ adalah fungsi jarak (metrik).

Definisi Keterbatasan dalam Ruang Metrik

Sebuah barisan $(x_n)$ dalam ruang metrik $(X, d)$ disebut terbatas jika himpunan suku-suku barisan tersebut $\{x_n : n \in \mathbb{N}\}$ terkandung dalam beberapa bola terbuka (atau tertutup) dengan radius terbatas.

Secara formal, barisan $(x_n)$ terbatas jika terdapat titik pusat $a \in X$ dan konstanta $M > 0$ sedemikian sehingga $d(x_n, a) \leq M$ untuk semua $n \in \mathbb{N}$.

Jika kita kembali ke $\mathbb{R}$ dan memilih $a=0$, maka $d(x_n, 0) = |x_n - 0| = |x_n|$, dan kita kembali ke definisi $|x_n| \leq M$.

Perbedaan Kunci dengan $\mathbb{R}$

Dalam ruang metrik umum, banyak teorema yang bergantung pada kelengkapan $\mathbb{R}$ menjadi berbeda:

• Konvergen $\implies$ Terbatas: Properti ini tetap berlaku di semua ruang metrik. Setiap barisan konvergen harus terbatas.
• Terbatas $\implies$ Konvergen: Ini hampir selalu salah, kecuali ruang tersebut trivila.
• Barisan Cauchy $\implies$ Terbatas: Properti ini juga tetap berlaku di semua ruang metrik.
• Terbatas $\implies$ Memiliki Barisan Bagian Konvergen (TBW): Properti ini tidak berlaku secara umum. TBW ekuivalen dengan sifat kekompakan ruang tersebut. Dalam ruang dimensi tak hingga (misalnya, ruang fungsi $L^p$), sebuah himpunan dapat berupa tertutup dan terbatas (bounded) tetapi tidak kompak, dan barisan terbatas di dalamnya mungkin tidak memiliki barisan bagian yang konvergen.

Kebutuhan akan konsep keterbatasan dalam ruang yang lebih abstrak menyoroti pentingnya keterbatasan sebagai kondisi prasyarat universal, bahkan jika ia sendiri tidak cukup untuk menjamin konvergensi tanpa properti kelengkapan atau kekompakan tambahan yang dimiliki oleh $\mathbb{R}$.

Signifikansi dan Kesimpulan

Barisan terbatas adalah salah satu konsep awal dan paling mendasar yang dipelajari dalam Analisis Real, namun dampaknya terasa di seluruh cabang matematika. Konsep keterbatasan ini adalah filter pertama yang memisahkan perilaku barisan yang liar dan tak terkontrol (divergen ke tak hingga) dari barisan yang berpotensi stabil (konvergen atau osilasi terbatas).

Barisan terbatas memiliki tiga peran utama:

1. Syarat Perlu Konvergensi: Setiap barisan yang konvergen harus terbatas. Ini adalah pemeriksaan cepat untuk mengeliminasi barisan yang tidak mungkin memiliki limit finit.
2. Pelengkap Monotonisitas (TKBM): Ketika digabungkan dengan sifat monoton, keterbatasan menjadi syarat cukup untuk konvergensi di $\mathbb{R}$, menegaskan sifat kelengkapan dari bilangan real.
3. Jaminan Titik Kumpul (TBW): Teorema Bolzano-Weierstrass menunjukkan bahwa keterbatasan saja sudah cukup untuk menjamin keberadaan setidaknya satu titik limit (atau barisan bagian yang konvergen), menjadikannya fondasi bagi konsep kekompakan.

Melalui keterbatasan, kita dapat mengontrol perilaku tak hingga dari suatu proses diskrit. Keterbatasan memungkinkan matematika untuk melangkah dari definisi intuitif ke ketepatan formal, membangun jembatan logis antara sifat aljabar (operasi barisan) dan sifat topologis (konvergensi dan kelengkapan). Analisis mendalam terhadap barisan terbatas adalah kunci untuk memahami struktur fundamental dari himpunan bilangan real dan merupakan landasan tak terpisahkan dari studi Analisis Matematika.