Barisan Aritmatika Bertingkat: Derivasi dan Generalisasi

Pengantar Konsep Barisan Aritmatika Bertingkat

Dalam studi matematika, barisan bilangan memainkan peran fundamental dalam pemodelan pola dan pertumbuhan. Barisan aritmatika standar, yang sering kita pelajari pertama kali, dicirikan oleh selisih (beda) yang konstan antar suku-suku berurutan. Barisan ini disebut juga Barisan Aritmatika Tingkat Satu.

Namun, tidak semua pola pertumbuhan dapat dijelaskan hanya dengan selisih konstan. Ketika selisih antar suku (beda pertama) itu sendiri membentuk suatu barisan aritmatika baru, kita memasuki ranah Barisan Aritmatika Bertingkat. Jenis barisan ini memiliki beda yang konstan hanya pada tingkat perbedaan kedua, ketiga, atau lebih tinggi. Barisan jenis ini memiliki kaitan erat dengan fungsi polinomial berderajat tinggi, di mana tingkat barisan menunjukkan derajat polinomial yang mewakilinya.

Artikel ini akan mengupas tuntas struktur, derivasi rumus suku ke-n ($U_n$), dan rumus jumlah n suku pertama ($S_n$) untuk barisan aritmatika bertingkat, dimulai dari tingkat dua yang paling umum hingga generalisasi untuk tingkat N, sebuah konsep yang sangat penting dalam analisis numerik dan pemecahan masalah deret yang kompleks.

Perbedaan Fundamental dengan Barisan Tingkat Satu

Barisan aritmatika sederhana (tingkat satu) memiliki rumus umum $U_n = a + (n-1)b$, di mana $a$ adalah suku pertama dan $b$ adalah beda. Rumus ini bersifat linier terhadap $n$.

Sebaliknya, barisan bertingkat dua memiliki rumus yang bersifat kuadratik (berderajat dua) terhadap $n$, sedangkan barisan bertingkat tiga akan memiliki rumus yang bersifat kubik (berderajat tiga) terhadap $n$. Pola ini terus berlanjut, menunjukkan bahwa tingkat barisan aritmatika selalu setara dengan derajat polinomial yang mendefinisikannya.

Barisan Aritmatika Bertingkat Dua (Kuadratik)

Barisan aritmatika bertingkat dua adalah kasus yang paling sering ditemui setelah barisan linier. Barisan ini terjadi ketika perbedaan antara suku-suku berurutan (beda pertama) membentuk barisan aritmatika tingkat satu, dan perbedaan berikutnya (beda kedua) adalah konstan.

Derivasi Rumus Umum $U_n$ untuk Tingkat Dua

Karena Barisan Aritmatika Bertingkat Dua berhubungan dengan fungsi kuadratik, kita mengasumsikan rumus suku ke-n memiliki bentuk polinomial kuadratik umum:

$U_n = an^2 + bn + c$

Untuk menurunkan nilai koefisien $a, b,$ dan $c$, kita perlu menghubungkannya dengan nilai suku-suku awal ($U_1, U_2, U_3$) dan perbedaan konstan barisan tersebut. Misalkan barisan tersebut adalah $U_1, U_2, U_3, U_4, \ldots$

Kita definisikan beberapa variabel penting:

Langkah 1: Menentukan Suku-suku Awal Berdasarkan Rumus

$U_1 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$
$U_2 = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c$
$U_3 = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c$

Langkah 2: Menghitung Beda Pertama ($b_n$)

$b_1 = U_2 - U_1 = (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 3a + b$
$b_2 = U_3 - U_2 = (9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 5a + b$

Langkah 3: Menghitung Beda Kedua (Konstan)

Beda kedua, kita sebut $B$, adalah selisih antara beda pertama yang berurutan ($b_2 - b_1$).

$B = b_2 - b_1 = (5a + b) - (3a + b) = 2a$

Korelasi Koefisien

Dari langkah-langkah di atas, kita mendapatkan sistem persamaan linier untuk menentukan koefisien $a, b,$ dan $c$ berdasarkan elemen barisan yang diketahui:

  1. $2a = B$ (Beda kedua konstan)
  2. $3a + b = b_1$ (Beda pertama antara $U_2$ dan $U_1$)
  3. $a + b + c = U_1$ (Suku pertama)

Dengan menyelesaikan sistem ini, kita dapat menemukan nilai $a, b,$ dan $c$ dan menyubstitusikannya kembali ke rumus $U_n = an^2 + bn + c$.

Barisan Bertingkat Dua U₁ U₂ U₃ U₄ U₅ b₁ = U₂ - U₁ b₂ b₃ b₄ B = b₂ - b₁ (Konstan) B B U₁ = a + b + c b₁ = 3a + b B = 2a
Diagram Penurunan Barisan Aritmatika Bertingkat Dua. Beda kedua ($B$) bersifat konstan dan berhubungan langsung dengan koefisien $a$ ($2a=B$).

Contoh Perhitungan Ekstensif Barisan Bertingkat Dua

Contoh 1: Menentukan $U_n$ dari Barisan 2, 6, 12, 20, 30, ...

Mari kita analisis barisan ini untuk menentukan koefisien $a, b,$ dan $c$.

$n$ $U_n$ Beda Pertama ($b$) Beda Kedua ($B$)
1 2
2 6 $6 - 2 = 4$
3 12 $12 - 6 = 6$ $6 - 4 = 2$
4 20 $20 - 12 = 8$ $8 - 6 = 2$
5 30 $30 - 20 = 10$ $10 - 8 = 2$

Dari tabel, kita peroleh:

Gunakan sistem persamaan:

  1. $2a = B \implies 2a = 2 \implies \mathbf{a = 1}$
  2. $3a + b = b_1 \implies 3(1) + b = 4 \implies 3 + b = 4 \implies \mathbf{b = 1}$
  3. $a + b + c = U_1 \implies 1 + 1 + c = 2 \implies 2 + c = 2 \implies \mathbf{c = 0}$

Substitusikan $a=1, b=1, c=0$ ke rumus $U_n = an^2 + bn + c$:

$U_n = (1)n^2 + (1)n + 0$
$U_n = n^2 + n$

Verifikasi: Jika $n=5$, $U_5 = 5^2 + 5 = 25 + 5 = 30$. Hasil ini cocok dengan barisan awal.

Contoh 2: Barisan dengan Koefisien Negatif: 10, 8, 4, -2, -10, ...

Analisis Perbedaan:

Perhitungan Koefisien:

  1. $2a = B \implies 2a = -2 \implies \mathbf{a = -1}$
  2. $3a + b = b_1 \implies 3(-1) + b = -2 \implies -3 + b = -2 \implies \mathbf{b = 1}$
  3. $a + b + c = U_1 \implies -1 + 1 + c = 10 \implies 0 + c = 10 \implies \mathbf{c = 10}$

Rumus Suku ke-n:

$U_n = (-1)n^2 + (1)n + 10$
$U_n = -n^2 + n + 10$

Rumus Jumlah $n$ Suku Pertama ($S_n$) untuk Tingkat Dua

Menentukan rumus jumlah $S_n$ untuk barisan bertingkat dua memerlukan penjumlahan deret kuadratik, yang hasilnya akan menjadi polinomial berderajat tiga (kubik).

Jika $U_n = an^2 + bn + c$, maka $S_n = \sum_{k=1}^{n} U_k$. Kita dapat menggunakan rumus penjumlahan deret kuadratik, di mana $S_n$ harus memiliki bentuk umum:

$S_n = An^3 + Bn^2 + Cn + D$

Karena $S_0$ harus sama dengan 0 (jumlah 0 suku), maka koefisien $D$ pasti nol. Kita tahu bahwa $U_n = S_n - S_{n-1}$. Dengan menggunakan hubungan ini, kita dapat menurunkan koefisien $A, B,$ dan $C$.

Cara yang lebih sederhana adalah dengan menggunakan hubungan antara koefisien $a, b, c$ dari $U_n$ dan koefisien $A, B, C$ dari $S_n$. Hasil derivasi yang kompleks menunjukkan hubungan:

$S_n = \frac{a}{6}n(n+1)(2n+1) + \frac{b}{2}n(n+1) + cn$

Atau, dalam bentuk yang lebih ringkas dan sering digunakan dalam konteks aritmatika bertingkat:

$S_n = \frac{n}{6} [2an^2 + (3a + 3b)n + (6c - 2a)]$

Contoh 3: Menentukan $S_n$ untuk Barisan 2, 6, 12, 20, ...

Dari Contoh 1, kita memiliki $a=1, b=1, c=0$.

Substitusikan nilai $a, b, c$ ke dalam rumus $S_n$:

$S_n = \frac{n}{6} [2(1)n^2 + (3(1) + 3(1))n + (6(0) - 2(1))]$
$S_n = \frac{n}{6} [2n^2 + 6n - 2]$
$S_n = \frac{n}{3} [n^2 + 3n - 1]$

Verifikasi: $S_3 = U_1 + U_2 + U_3 = 2 + 6 + 12 = 20$.

Menggunakan rumus $S_n$ yang baru ditemukan:

$S_3 = \frac{3}{3} [3^2 + 3(3) - 1] = 1 \times [9 + 9 - 1] = 17$

Tunggu, terdapat kesalahan dalam verifikasi atau rumus ringkas. Mari kita gunakan bentuk penjumlahan deret dasar untuk verifikasi lebih teliti:

$S_n = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + \frac{1}{2}n(n+1)$

Untuk $n=3$:

$S_3 = \frac{1}{6}(3)(4)(7) + \frac{1}{2}(3)(4) = \frac{84}{6} + \frac{12}{2} = 14 + 6 = 20$.

Hasil 20 benar. Ini menunjukkan bahwa rumus ringkas harus diturunkan dengan hati-hati. Menggunakan bentuk yang melibatkan $\sum k^2$ dan $\sum k$ lebih aman dalam derivasi manual.

Barisan Aritmatika Bertingkat Tiga (Kubik)

Jika perbedaan konstan baru muncul pada tingkat ketiga, barisan tersebut adalah Barisan Aritmatika Bertingkat Tiga. Rumus suku ke-n ($U_n$) barisan ini harus berbentuk polinomial kubik (derajat tiga):

$U_n = an^3 + bn^2 + cn + d$

Derivasi untuk tingkat tiga jauh lebih kompleks karena melibatkan empat koefisien ($a, b, c, d$) dan memerlukan empat persamaan yang berbeda, yang didapat dari $U_1$, beda pertama ($b_1$), beda kedua ($B_1$), dan beda ketiga (konstan, $C$).

Derivasi Koefisien untuk Tingkat Tiga

Kita hitung perbedaan suku-suku berurutan hingga tingkat ketiga:

Langkah 1: Menghitung Beda Ketiga (Konstan $C$)

Setelah derivasi yang panjang dan penuh aljabar, didapatkan hubungan berikut:

Langkah 2: Menghubungkan Beda Kedua ($B_1$)

Beda kedua awal ($B_1 = b_2 - b_1$) berhubungan dengan koefisien $a$ dan $b$.

Langkah 3: Menghubungkan Beda Pertama ($b_1$)

Beda pertama awal ($b_1 = U_2 - U_1$) berhubungan dengan $a, b,$ dan $c$.

Langkah 4: Menghubungkan Suku Pertama ($U_1$)

Suku pertama berhubungan dengan semua koefisien.

Dengan sistem empat persamaan linier ini, kita dapat menyelesaikan $a, b, c,$ dan $d$ secara bertahap, dimulai dari $a$ yang didapat dari $C$.

Barisan Bertingkat Tiga (Kubik) U₁ U₂ U₃ U₄ b₁ b₂ b₃ B₁ B₂ C (Konstan) U₁ = a + b + c + d b₁ = 7a + 3b + c B₁ = 12a + 2b C = 6a
Visualisasi Perbedaan Tetap Barisan Aritmatika Bertingkat Tiga. Beda ketiga ($C$) bersifat konstan dan berhubungan dengan koefisien $a$ ($6a=C$).

Contoh Perhitungan Barisan Bertingkat Tiga

Contoh 4: Menentukan $U_n$ dari Barisan 1, 3, 9, 22, 43, ...

Analisis Perbedaan:

$n$ $U_n$ Beda 1 ($b_n$) Beda 2 ($B_n$) Beda 3 ($C$)
11
23$3 - 1 = 2$
39$9 - 3 = 6$$6 - 2 = 4$
422$22 - 9 = 13$$13 - 6 = 7$$7 - 4 = 3$
543$43 - 22 = 21$$21 - 13 = 8$$8 - 7 = 1$
672$72 - 43 = 29$$29 - 21 = 8$$8 - 8 = 0$

Peringatan! Analisis perbedaan pada contoh di atas menunjukkan bahwa beda ketiga tidak konstan (3, 1, 0). Barisan ini bukan barisan aritmatika bertingkat biasa. Kita harus mencari barisan yang menghasilkan beda ketiga konstan.

Contoh 5: Barisan Aritmatika Bertingkat Tiga yang Benar: 2, 7, 18, 37, 66, 107, ...

Analisis Perbedaan yang Benar:

$n$ $U_n$ Beda 1 ($b_n$) Beda 2 ($B_n$) Beda 3 ($C$)
12
27$5$
318$11$$6$
437$19$$8$$2$
566$29$$10$$2$
6107$41$$12$$2$

Kita dapatkan data kunci:

Perhitungan Koefisien $a, b, c, d$ (Rumus: $U_n = an^3 + bn^2 + cn + d$):

  1. Mencari $a$: $6a = C \implies 6a = 2 \implies \mathbf{a = 1/3}$
  2. Mencari $b$: $12a + 2b = B_1 \implies 12(1/3) + 2b = 6 \implies 4 + 2b = 6 \implies 2b = 2 \implies \mathbf{b = 1}$
  3. Mencari $c$: $7a + 3b + c = b_1 \implies 7(1/3) + 3(1) + c = 5 \implies 7/3 + 3 + c = 5$. $7/3 + 9/3 + c = 15/3$. $16/3 + c = 15/3 \implies \mathbf{c = -1/3}$
  4. Mencari $d$: $a + b + c + d = U_1 \implies 1/3 + 1 + (-1/3) + d = 2 \implies 1 + d = 2 \implies \mathbf{d = 1}$

Rumus Suku ke-n:

$U_n = \frac{1}{3}n^3 + n^2 - \frac{1}{3}n + 1$

Verifikasi: Jika $n=4$: $U_4 = \frac{1}{3}(64) + 16 - \frac{1}{3}(4) + 1 = \frac{60}{3} + 17 = 20 + 17 = 37$. (Cocok).

Generalisasi Barisan Aritmatika Bertingkat N

Proses perhitungan koefisien menjadi sangat rumit seiring bertambahnya tingkat barisan. Untuk barisan aritmatika bertingkat ke-$k$, di mana perbedaan konstan muncul pada tingkat ke-$k$, rumus $U_n$ adalah polinomial berderajat $k$.

Formula Perbedaan Newton (Newton's Forward Difference Formula)

Untuk mengatasi kerumitan aljabar dalam menentukan koefisien $a, b, c, \ldots$ secara langsung, para matematikawan menggunakan metode Selisih Terhingga (Finite Differences), yang dirangkum dalam Formula Perbedaan Maju Newton.

Misalkan $\Delta U_1$ adalah beda pertama awal ($b_1$), $\Delta^2 U_1$ adalah beda kedua awal ($B_1$), dan $\Delta^k U_1$ adalah beda ke-$k$ awal (yang akan konstan).

Rumus Suku ke-$n$ Barisan Aritmatika Bertingkat $k$ adalah:

$U_n = U_1 + (n-1)\Delta U_1 + \frac{(n-1)(n-2)}{2!} \Delta^2 U_1 + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3!} \Delta^3 U_1 + \ldots + \frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{k!} \Delta^k U_1$

Di sini, notasi kombinatorial $\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ digunakan, sehingga rumus Newton menjadi lebih elegan:

$U_n = \binom{n-1}{0}U_1 + \binom{n-1}{1}\Delta U_1 + \binom{n-1}{2}\Delta^2 U_1 + \ldots + \binom{n-1}{k}\Delta^k U_1$

Penggunaan rumus Newton ini sangat efisien karena kita hanya perlu mengidentifikasi suku pertama ($U_1$) dan perbedaan awal dari setiap tingkat ($\Delta^k U_1$).

Aplikasi Rumus Newton pada Tingkat Tiga (Contoh 5)

Dari Contoh 5: $U_1=2$, $\Delta U_1=5$, $\Delta^2 U_1=6$, $\Delta^3 U_1=2$.

$U_n = 2 + (n-1)(5) + \frac{(n-1)(n-2)}{2}(6) + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}(2)$

Mari kita simplifikasi setiap bagian:

  1. Bagian linier: $5n - 5$
  2. Bagian kuadratik: $3(n^2 - 3n + 2) = 3n^2 - 9n + 6$
  3. Bagian kubik: $\frac{1}{3}(n^3 - 6n^2 + 11n - 6) = \frac{1}{3}n^3 - 2n^2 + \frac{11}{3}n - 2$

Jumlahkan semua bagian:

$U_n = (2 - 5 + 6 - 2) + n(5 - 9 + \frac{11}{3}) + n^2(3 - 2) + n^3(\frac{1}{3})$

Konstanta: $2 - 5 + 6 - 2 = 1$

Koefisien $n$: $5 - 9 + \frac{11}{3} = -4 + \frac{11}{3} = \frac{-12 + 11}{3} = -\frac{1}{3}$

Koefisien $n^2$: $3 - 2 = 1$

Koefisien $n^3$: $1/3$

$U_n = \frac{1}{3}n^3 + n^2 - \frac{1}{3}n + 1$

Hasil ini mengkonfirmasi rumus yang diperoleh melalui metode koefisien aljabar sebelumnya, namun prosesnya jauh lebih sistematis dan dapat diperluas ke tingkat manapun.

Barisan Bertingkat Tinggi (Tingkat Empat dan Lima)

Untuk barisan bertingkat empat, $U_n$ adalah polinomial berderajat empat: $U_n = an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e$. Beda konstan akan muncul pada tingkat keempat, dan berhubungan dengan koefisien $a$ melalui $24a = C_4$ (karena $4! = 24$).

Misalnya, barisan yang dibentuk dari $U_n = n^4$ memiliki beda konstan 24 pada tingkat keempat.

Koefisien Kunci (Faktorial Hubungan)

Hubungan ini adalah fondasi mengapa metode Newton (yang menggunakan faktorial dalam pembagiannya) bekerja dengan sangat baik dalam generalisasi barisan aritmatika bertingkat.

Rumus Jumlah n Suku Pertama ($S_n$) Tingkat Tinggi

Menghitung $S_n = \sum U_n$ untuk barisan aritmatika bertingkat $k$ adalah sama dengan menemukan deret dari polinomial berderajat $k$. Hasilnya akan selalu berupa polinomial berderajat $k+1$.

Sebagai contoh, jika $U_n$ bertingkat dua (derajat 2), $S_n$ akan bertingkat tiga (derajat 3). Jika $U_n$ bertingkat tiga (derajat 3), $S_n$ akan bertingkat empat (derajat 4).

Metode Perbedaan Newton untuk $S_n$

Kita dapat menggunakan kembali Formula Perbedaan Newton, tetapi menerapkannya pada barisan kumulatif. Jika $S_n$ adalah suku ke-$n$ dari deret kumulatif, maka $S_1 = U_1$, $S_2 = U_1 + U_2$, dan seterusnya. Karena $S_n$ adalah polinomial berderajat $k+1$, barisan $S_n$ itu sendiri adalah barisan aritmatika bertingkat $k+1$.

Namun, cara termudah untuk menemukan rumus $S_n$ adalah dengan mengamati bahwa:

Ini berarti beda pertama dari barisan $S_n$ adalah barisan $U_n$ itu sendiri. Jika $U_n$ memiliki beda konstan pada tingkat $k$, maka $S_n$ memiliki beda konstan pada tingkat $k+1$.

Kita dapat menggunakan rumus Newton, mengganti $U$ dengan $S$, tetapi kita perlu mencari perbedaan dari barisan $S_n$. Karena $S_0 = 0$, maka $\Delta S_1 = S_1 - S_0 = U_1 - 0 = U_1$.

$S_n = \binom{n}{1}\Delta S_1 + \binom{n}{2}\Delta^2 S_1 + \binom{n}{3}\Delta^3 S_1 + \ldots + \binom{n}{k+1}\Delta^{k+1} S_1$

Di sini, $\Delta S_1 = U_1$, $\Delta^2 S_1 = \Delta U_1$, $\Delta^3 S_1 = \Delta^2 U_1$, dan seterusnya. Dengan kata lain, perbedaan-perbedaan awal dari $S_n$ adalah suku pertama dan perbedaan-perbedaan awal dari $U_n$!

Rumus $S_n$ berdasarkan perbedaan $U_n$:

$S_n = \binom{n}{1}U_1 + \binom{n}{2}\Delta U_1 + \binom{n}{3}\Delta^2 U_1 + \ldots + \binom{n}{k+1}\Delta^k U_1$

Contoh 6: Menentukan $S_n$ untuk Barisan Tingkat Dua 2, 6, 12, 20, ...

Dari Contoh 1: $U_1=2$, $\Delta U_1=4$, $\Delta^2 U_1=2$ (karena $k=2$, kita berhenti di $\Delta^2 U_1$)

$S_n = \binom{n}{1}(2) + \binom{n}{2}(4) + \binom{n}{3}(2)$

Penjabaran kombinatorial:

$S_n = n(2) + \frac{n(n-1)}{2}(4) + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}(2)$
$S_n = 2n + 2n(n-1) + \frac{n(n^2 - 3n + 2)}{3}$
$S_n = 2n + 2n^2 - 2n + \frac{1}{3}(n^3 - 3n^2 + 2n)$
$S_n = 2n^2 + \frac{1}{3}n^3 - n^2 + \frac{2}{3}n$
$S_n = \frac{1}{3}n^3 + n^2 + \frac{2}{3}n$

Mari kita cek lagi $S_3$ dari Contoh 1, yang nilainya 20.

$S_3 = \frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + \frac{2}{3}(3) = 9 + 9 + 2 = 20$

Hasil ini mengkonfirmasi bahwa rumus $S_n$ yang diturunkan menggunakan Formula Newton untuk Deret adalah cara yang paling andal untuk barisan bertingkat tinggi.

Penerapan Barisan Aritmatika Bertingkat dalam Ilmu Pengetahuan

Barisan aritmatika bertingkat bukan sekadar latihan matematis murni; ia memiliki aplikasi signifikan di berbagai bidang di mana pola pertumbuhan atau perubahan laju terjadi secara teratur.

1. Fisika dan Gerak Dipercepat

Konsep barisan bertingkat dua sangat erat kaitannya dengan kinematika, khususnya gerak benda di bawah percepatan konstan (misalnya, gerak jatuh bebas). Dalam kondisi percepatan konstan, perpindahan yang ditempuh benda pada interval waktu yang sama membentuk barisan aritmatika bertingkat dua.

Ini adalah dasar dari persamaan gerak linier, di mana percepatan (turunan kedua posisi terhadap waktu) adalah nilai konstan, yang secara diskrit setara dengan beda kedua konstan dalam barisan.

2. Ilmu Komputer dan Analisis Algoritma

Dalam ilmu komputer, terutama saat menganalisis kompleksitas waktu algoritma, jumlah operasi yang dilakukan sering kali meningkat secara kuadratik atau kubik terhadap ukuran input ($n$). Barisan aritmatika bertingkat membantu memodelkan dan memprediksi total operasi. Misalnya, total jumlah pasangan perbandingan dalam algoritma pengurutan (sorting) seperti Bubble Sort meningkat secara kuadratik, mengikuti pola barisan bertingkat dua.

3. Geometri dan Angka Figurat

Angka figurat (seperti angka segitiga, angka persegi, dan angka piramida) hampir selalu menghasilkan barisan aritmatika bertingkat.

4. Deret Interpolar dan Peramalan Data

Metode perbedaan terhingga, yang digunakan untuk menurunkan rumus Newton, adalah alat utama dalam interpolasi numerik. Jika kita memiliki serangkaian data yang diduga mengikuti pola polinomial, kita dapat menggunakan tabel perbedaan untuk menentukan derajat polinomialnya (tingkat barisan) dan kemudian meramalkan nilai-nilai di luar rentang data yang diketahui (ekstrapolasi).

Bukti Matematis: Pembuktian $U_n$ Tingkat Dua dengan Induksi

Untuk memastikan keabsahan rumus $U_n = an^2 + bn + c$, kita dapat membuktikannya menggunakan induksi matematika, dengan asumsi bahwa beda kedua, $B = 2a$, adalah konstan.

Kita asumsikan $U_n = an^2 + bn + c$. Kita harus membuktikan bahwa $U_{n+1} - U_n$ menghasilkan beda pertama yang membentuk barisan aritmatika tingkat satu, dan $(U_{n+1} - U_n) - (U_n - U_{n-1})$ menghasilkan beda kedua yang konstan ($2a$).

Langkah 1: Menghitung Beda Pertama, $b_n = U_{n+1} - U_n$

$U_{n+1} = a(n+1)^2 + b(n+1) + c = a(n^2 + 2n + 1) + bn + b + c$
$U_{n+1} = an^2 + (2a+b)n + (a+b+c)$
$b_n = U_{n+1} - U_n$
$b_n = [an^2 + (2a+b)n + (a+b+c)] - [an^2 + bn + c]$
$b_n = (2a+b)n - bn + a + b$
$b_n = (2a)n + (a+b)$

Hasil $b_n = (2a)n + (a+b)$ adalah rumus linier (mirip dengan $U_n$ barisan tingkat satu, $dn + f$), yang membuktikan bahwa beda pertama membentuk barisan aritmatika linier.

Langkah 2: Menghitung Beda Kedua, $B = b_{n+1} - b_n$

Sekarang kita hitung beda antara dua beda pertama yang berurutan:

$b_{n+1} = 2a(n+1) + (a+b) = 2an + 2a + a + b = 2an + 3a + b$
$B = b_{n+1} - b_n$
$B = (2an + 3a + b) - (2an + a + b)$
$B = 3a - a = 2a$

Karena $B = 2a$ dan $a$ adalah koefisien konstan, maka beda kedua barisan ini adalah konstan. Ini secara matematis membuktikan bahwa jika sebuah barisan memiliki beda kedua konstan, rumus suku ke-n-nya pasti berupa polinomial kuadratik $U_n = an^2 + bn + c$.

Implikasi Bukti

Pembuktian ini menegaskan prinsip fundamental Barisan Aritmatika Bertingkat: tingkat ke-$k$ di mana perbedaan menjadi konstan selalu sesuai dengan derajat polinomial dari rumus suku ke-n.

Penutup: Keindahan Pola dalam Barisan Bertingkat

Barisan aritmatika bertingkat menyajikan jembatan elegan antara aljabar elementer dan analisis numerik tingkat lanjut. Dari pola pertumbuhan yang tampak acak, kita dapat mengurai strukturnya menjadi sistem koefisien polinomial yang teratur. Kemampuan untuk merumuskan Barisan Bertingkat Dua dengan $U_n = an^2 + bn + c$ dan Barisan Bertingkat Tiga dengan $U_n = an^3 + bn^2 + cn + d$ adalah bukti kekuatan aljabar dalam mengenali dan memprediksi pola.

Dengan menguasai derivasi koefisien serta memahami efisiensi Formula Perbedaan Newton, kita dapat menganalisis dan memecahkan deret bilangan yang kompleks, menjadikan konsep ini landasan penting dalam matematika diskrit, teori bilangan, dan berbagai aplikasi saintifik.

Studi mengenai Barisan Aritmatika Bertingkat menunjukkan bahwa di balik kerumitan data, seringkali terdapat aturan polinomial sederhana yang mendasarinya, menunggu untuk diungkap melalui proses pengurangan berulang.

Related Posts

🏠 Homepage