Menyelami kedalaman pola bilangan yang memiliki beda konstan
Matematika, sebagai bahasa universal, sangat bergantung pada struktur dan pola. Salah satu pola paling mendasar dan penting dalam studi bilangan adalah barisan aritmetika. Barisan ini membentuk fondasi penting untuk memahami fungsi linear diskrit, dan aplikasinya tersebar luas, mulai dari perhitungan bunga sederhana hingga prediksi pertumbuhan populasi dalam model matematika yang disederhanakan.
Secara definisi, barisan aritmetika (sering disingkat Barisan Arit) adalah susunan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh dari penambahan suku sebelumnya dengan suatu bilangan konstan. Bilangan konstan inilah yang menjadi ciri khas utama dari barisan ini dan disebut sebagai beda atau selisih, dilambangkan dengan huruf b.
Misalnya, jika kita memiliki barisan: 3, 7, 11, 15, 19, ... Kita dapat mengamati bahwa setiap suku diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambahkan 4. Di sini, b = 4.
Setiap bilangan dalam barisan disebut suku, dinotasikan dengan U. Suku pertama dilambangkan U₁ atau sering kali a. Suku kedua U₂, dan seterusnya hingga suku ke-n, Uₙ.
Secara matematis, beda b didefinisikan sebagai:
b = U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = ... = Uₙ - Uₙ₋₁Konstansi beda adalah kunci. Jika selisih antar suku berubah, maka barisan tersebut bukan lagi barisan aritmetika, melainkan mungkin barisan bertingkat atau jenis barisan lainnya.
Gambar 1. Representasi visual Barisan Aritmetika. Jarak horizontal antar suku (beda) selalu sama.
Ketika kita bekerja dengan barisan yang sangat panjang, misalnya mencari suku ke-1000, mustahil bagi kita untuk terus menambahkan beda secara berulang-ulang. Oleh karena itu, kita memerlukan rumus umum yang menghubungkan posisi suku (n) dengan nilainya (Uₙ).
Mari kita amati bagaimana setiap suku terbentuk dari suku pertama (a) dan beda (b):
Terlihat sebuah pola: jumlah kemunculan beda selalu satu kurang dari posisi suku (n). Jika kita ingin mencari suku ke-n, beda harus ditambahkan sebanyak (n - 1) kali ke suku pertama. Ini adalah inti dari sifat linear barisan aritmetika.
Keterangan variabel:
Uₙ: Suku pada posisi ke-na: Suku pertama (U₁)n: Nomor urut suku (selalu bilangan bulat positif)b: Beda atau selisih konstanDiberikan barisan aritmetika 5, 11, 17, 23, ... Tentukan suku ke-45.
a dan b.
a (U₁) = 5b = U₂ - U₁ = 11 - 5 = 6U₄₅ = a + (45 - 1)b
U₄₅ = 5 + (44) × 6
U₄₅ = 5 + 264
U₄₅ = 269Jadi, suku ke-45 dari barisan tersebut adalah 269.
Terkadang, yang diketahui adalah nilai suku, dan kita diminta mencari pada posisi ke berapa nilai tersebut berada. Ini adalah invers dari proses mencari Uₙ.
Dalam barisan 5, 11, 17, 23, ..., suku ke berapa yang bernilai 305?
Uₙ = a + (n - 1)b
305 = 5 + (n - 1)6
305 - 5 = 6(n - 1)
300 = 6(n - 1)
300 / 6 = n - 1
50 = n - 1
n = 51Suku yang bernilai 305 berada pada posisi ke-51.
Sangat penting untuk disadari bahwa rumus $U_n = a + (n-1)b$ dapat disederhanakan menjadi $U_n = bn + (a-b)$. Bentuk ini, $U_n = bn + c$ (dimana $c = a-b$), adalah bentuk fungsi linear $y = mx + c$. Dalam konteks barisan aritmetika:
Karena grafiknya berupa garis lurus, barisan aritmetika adalah model diskrit dari pertumbuhan atau penurunan linear. Jika $b > 0$, barisan tersebut menaik (bertambah nilainya). Jika $b < 0$, barisan tersebut menurun (berkurang nilainya).
Ketika suku-suku dari suatu barisan aritmetika dijumlahkan, hasilnya disebut deret aritmetika. Deret aritmetika dilambangkan dengan Sₙ, yang berarti jumlah n suku pertama. Mencari jumlah suku ini jauh lebih efisien menggunakan formula daripada menjumlahkan satu per satu, terutama untuk deret yang panjang.
Legenda menyebutkan bahwa matematikawan Carl Friedrich Gauss menemukan formula ini saat masih sekolah dasar, ketika ia diminta gurunya menjumlahkan bilangan 1 hingga 100. Kunci dari penemuan ini adalah menyadari bahwa jumlah pasangan suku yang simetris (suku pertama dan terakhir, suku kedua dan kedua dari terakhir, dan seterusnya) selalu sama.
Misalnya, deret 1 + 2 + 3 + ... + 100.
(1 + 100) = 101
(2 + 99) = 101
(3 + 98) = 101
...Secara umum, deret aritmetika (Sₙ) dapat dituliskan:
Sₙ = U₁ + U₂ + U₃ + ... + Uₙ₋₁ + UₙJika kita tulis kembali dalam bentuk a dan b:
Sₙ = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (Uₙ - b) + Uₙ (Persamaan 1)Kita balik urutannya (karena penjumlahan bersifat komutatif):
Sₙ = Uₙ + (Uₙ - b) + (Uₙ - 2b) + ... + (a + b) + a (Persamaan 2)Tambahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2 secara vertikal:
2Sₙ = (a + Uₙ) + (a + Uₙ) + (a + Uₙ) + ... (n kali)
2Sₙ = n (a + Uₙ)Sehingga, didapatkan rumus pertama untuk Deret Aritmetika:
Karena kita tahu bahwa $U_n = a + (n-1)b$, kita dapat substitusikan $U_n$ ke dalam rumus di atas untuk mendapatkan rumus kedua yang hanya bergantung pada $a, b,$ dan $n$:
Sₙ = n/2 [a + (a + (n-1)b)]
Sₙ = n/2 [2a + (n-1)b]Gambar 2. Prinsip Deret Aritmetika: Jumlah suku-suku yang berjarak sama dari ujung selalu konstan.
Seringkali, kita hanya mengetahui jumlah total n suku ($S_n$) dan jumlah total $n-1$ suku ($S_{n-1}$), dan kita diminta mencari suku terakhir ($U_n$). Hubungannya sangat sederhana:
Sₙ = Sₙ₋₁ + UₙMaka:
Hubungan ini sangat fundamental karena memungkinkan kita bergerak secara bebas antara konsep barisan (individu suku) dan deret (akumulasi suku).
Hitunglah jumlah 20 suku pertama (S₂₀) dari barisan 4, 9, 14, 19, ...
S₂₀ = 20/2 [2(4) + (20 - 1)5]
S₂₀ = 10 [8 + (19)5]
S₂₀ = 10 [8 + 95]
S₂₀ = 10 [103]
S₂₀ = 1030Jumlah 20 suku pertama adalah 1030.
Selain rumus dasar $U_n$ dan $S_n$, barisan aritmetika memiliki beberapa sifat geometris dan aljabar yang sangat berguna dalam penyelesaian masalah kompleks.
Jika sebuah barisan aritmetika memiliki jumlah suku ganjil, maka terdapat suku tengah ($U_t$) yang posisinya berada tepat di tengah barisan. Suku tengah ini memiliki hubungan istimewa dengan suku pertama dan suku terakhir:
Ini juga dapat ditafsirkan sebagai rata-rata aritmetika (arithmetic mean) dari suku pertama dan terakhir. Bahkan, suku tengah ini juga merupakan rata-rata dari sepasang suku mana pun yang simetris terhadapnya, misalnya $(U_2 + U_{n-1}) / 2 = U_t$.
Bagaimana jika kita memiliki dua bilangan, $X$ dan $Y$, dan kita ingin menyisipkan $k$ suku di antara keduanya sehingga membentuk barisan aritmetika baru? Total suku barisan baru adalah $n = k + 2$.
Dalam barisan baru ini, $X$ adalah $U_1$ dan $Y$ adalah $U_{k+2}$. Barisan aslinya (hanya X dan Y) memiliki beda $B_{lama} = Y - X$. Barisan baru akan memiliki beda yang lebih kecil ($b_{baru}$).
Menggunakan rumus $U_n$: $Y = X + ((k+2) - 1)b_{baru}$
Maka, beda baru ($b$) ditemukan dengan rumus:
Dimana $k$ adalah jumlah suku yang disisipkan. Pembagi $k+1$ adalah jumlah interval beda yang baru dibuat antara $X$ dan $Y$.
Contoh: Sisipkan 4 bilangan di antara 10 dan 40. ($k=4, X=10, Y=40$).
b = (40 - 10) / (4 + 1) = 30 / 5 = 6
Barisan baru: 10, 16, 22, 28, 34, 40.Kita tidak selalu harus bergantung pada suku pertama ($a$) untuk menghitung suku berikutnya. Kita dapat menggunakan suku ke-p untuk mencari suku ke-q.
Misalnya, $U_q$ dan $U_p$ diketahui, di mana $q > p$. Selisih antara $U_q$ dan $U_p$ hanya dipengaruhi oleh beda ($b$) dan jumlah langkah yang dibutuhkan untuk bergerak dari $p$ ke $q$, yaitu $(q - p)$.
U_q = U_p + (q - p)bDari sini, kita mendapatkan cara alternatif untuk mencari beda:
Sifat ini sangat penting dalam soal-soal di mana suku pertama tidak diketahui, tetapi dua suku di tengah barisan diberikan.
Jika $U_n$ merupakan fungsi linear dari $n$, maka $S_n$ merupakan fungsi kuadrat dari $n$. Mari kita lihat kembali rumus $S_n$:
S_n = n/2 [2a + nb - b]
S_n = (b/2)n² + (a - b/2)nBentuk ini adalah $S_n = An^2 + Bn$, di mana $A = b/2$ dan $B = a - b/2$.
Implikasinya: Jika sebuah rumus jumlah suku ($S_n$) diberikan dalam bentuk kuadrat yang tidak memiliki konstanta bebas ($+ C$), maka deret tersebut pasti adalah deret aritmetika. Koefisien $A$ (dari $n^2$) akan selalu setengah dari beda barisan tersebut.
Barisan aritmetika bukan sekadar konsep abstrak di atas kertas; ia adalah model matematika yang sangat efektif untuk memecahkan berbagai masalah di dunia nyata yang melibatkan perubahan konstan per interval waktu atau langkah.
Dalam sistem bunga tunggal (sederhana), jumlah bunga yang diperoleh atau dibayar setiap periode adalah konstan. Ini menciptakan barisan aritmetika dalam total saldo atau total bunga yang terakumulasi.
Misalnya, Anda menabung Rp 1.000.000 dengan bunga tunggal 10% per tahun. Bunga yang Anda peroleh setiap tahun adalah Rp 100.000 (konstan).
Ini adalah barisan aritmetika dengan beda $b = 100.000$. Total uang Anda pada akhir tahun ke-n dapat dihitung menggunakan $U_n$.
Dalam fisika, ketika suatu benda bergerak dengan percepatan konstan ($a$), kecepatannya ($v$) akan berubah secara linear dari waktu ke waktu. Jika kita mengamati kecepatan pada interval waktu yang diskrit dan sama, kecepatan tersebut membentuk barisan aritmetika.
Contoh: Kecepatan awal 10 m/s, percepatan 2 m/s². Kecepatan setiap detik:
Percepatan di sini bertindak sebagai beda ($b$). Demikian pula, total jarak yang ditempuh (akumulasi kecepatan dari waktu ke waktu) dihitung menggunakan deret aritmetika $S_n$, meskipun rumus fisika untuk jarak biasanya lebih kompleks karena bersifat kontinu.
Sebuah perusahaan merencanakan peningkatan produksi sebesar 500 unit setiap bulan. Jika produksi bulan pertama adalah 2.000 unit, maka:
Ini adalah barisan aritmetika dengan $b = 500$. Untuk mencari total produksi selama satu tahun (S₁₂), digunakan rumus deret aritmetika.
Penataan kursi di gedung bioskop atau auditorium sering mengikuti barisan aritmetika, di mana setiap baris belakang memiliki jumlah kursi yang konstan lebih banyak daripada baris di depannya. Hal ini untuk memastikan sudut pandangan yang optimal.
Barisan depan (U₁): 15 kursi. Penambahan 2 kursi per baris ($b=2$). Untuk mengetahui total kapasitas gedung, kita perlu menjumlahkan seluruh suku ($S_n$).
Untuk menguasai barisan aritmetika, pemahaman mendalam tentang bagaimana mengkombinasikan berbagai rumus dan sifat adalah krusial. Bagian ini menyajikan beberapa tipe soal standar hingga kompleks.
Barisan aritmetika memiliki suku ke-5 ($U_5$) sebesar 18 dan suku ke-12 ($U_{12}$) sebesar 46. Tentukan suku ke-30 ($U_{30}$).
Langkah 1: Mencari Beda (b)
Kita menggunakan sifat jarak antar suku:
b = (U₁₂ - U₅) / (12 - 5)
b = (46 - 18) / 7
b = 28 / 7
b = 4Beda barisan tersebut adalah 4.
Langkah 2: Mencari Suku Pertama (a)
Gunakan salah satu suku yang diketahui, misalnya $U_5 = 18$:
U₅ = a + (5 - 1)b
18 = a + 4(4)
18 = a + 16
a = 18 - 16
a = 2Suku pertama adalah 2. Barisan tersebut dimulai dari 2, 6, 10, 14, 18, ...
Langkah 3: Mencari Suku ke-30 (U₃₀)
Menggunakan rumus $U_n = a + (n-1)b$:
U₃₀ = 2 + (30 - 1)4
U₃₀ = 2 + (29)4
U₃₀ = 2 + 116
U₃₀ = 118Suku ke-30 adalah 118.
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika diberikan oleh rumus $S_n = 3n^2 + 5n$. Tentukan suku pertama ($a$), beda ($b$), dan suku ke-10 ($U_{10}$).
Langkah 1: Mencari Suku Pertama (a)
Jumlah satu suku pertama ($S_1$) selalu sama dengan suku pertama ($U_1$ atau $a$):
a = S₁ = 3(1)² + 5(1)
a = 3 + 5
a = 8Suku pertama adalah 8.
Langkah 2: Mencari Beda (b)
Untuk mencari beda, kita harus menemukan $U_2$. Pertama, hitung $S_2$:
S₂ = 3(2)² + 5(2)
S₂ = 3(4) + 10
S₂ = 12 + 10 = 22Kemudian gunakan hubungan $U_n = S_n - S_{n-1}$:
U₂ = S₂ - S₁
U₂ = 22 - 8
U₂ = 14Beda $b$ adalah selisih antara $U_2$ dan $U_1$:
b = U₂ - U₁
b = 14 - 8
b = 6Atau, gunakan sifat hubungan $S_n$ dengan fungsi kuadrat: $A = b/2$. Dalam $S_n = 3n^2 + 5n$, $A=3$. Maka $3 = b/2$, sehingga $b=6$. Hasilnya konsisten.
Langkah 3: Mencari Suku ke-10 (U₁₀)
U₁₀ = a + (10 - 1)b
U₁₀ = 8 + (9)6
U₁₀ = 8 + 54
U₁₀ = 62Suku ke-10 adalah 62.
Deret aritmetika memiliki suku pertama 10 dan beda 3. Jika jumlah seluruh deret tersebut adalah 435, berapa banyak suku (n) dalam deret tersebut?
Diketahui: $a=10, b=3, S_n=435$. Ditanya: $n$.
Gunakan rumus $S_n = n/2 [2a + (n-1)b]$:
435 = n/2 [2(10) + (n - 1)3]
435 × 2 = n [20 + 3n - 3]
870 = n [17 + 3n]
870 = 17n + 3n²Kita mendapatkan persamaan kuadrat: $3n^2 + 17n - 870 = 0$.
Kita harus memfaktorkan atau menggunakan rumus ABC (walaupun untuk kasus ini, faktorisasi seringkali lebih cepat):
Coba uji nilai $n$ (karena $n$ harus positif):
Faktor 870, coba $n=15$.
(3n + D)(n - 15) = 0
Jika n = 15: 3(15)² + 17(15) - 870 = 0
3(225) + 255 - 870 = 0
675 + 255 - 870 = 0
930 - 870 = 60 (Tidak nol)Coba faktorisasi yang lebih tepat: $3n^2 + 17n - 870 = 0$. Kita cari dua bilangan yang hasil kalinya $3 \times (-870) = -2610$ dan jumlahnya 17. Bilangan tersebut adalah 90 dan -73.
3n² + 90n - 73n - 870 = 0
3n(n + 30) - 73(n + 30) = 0
(3n - 73)(n + 30) = 0
n = 73/3 atau n = -30Karena $n$ harus berupa bilangan bulat positif, maka $n = 73/3$ tidak memenuhi, kecuali jika kita mengira-ngira faktor dari 870. Mari kita periksa kembali perhitungan faktor: $3 \times 870 = 2610$. Faktor dari 2610 yang selisihnya 17 adalah 58 dan 45? Tidak. 60 dan 43? Tidak.
Faktorisasi yang benar untuk $3n^2 + 17n - 870 = 0$ adalah $(3n + 58)(n - 15) = 0$.
Cek: $3n^2 - 45n + 58n - 870 = 3n^2 + 13n - 870$. Ini salah. Perlu dicari faktor yang benar.
Faktor 2610. Faktor yang benar adalah 73 dan 90? $90 \times 29 = 2610$. $58 \times 45 = 2610$. $45 \times 58 = 2610$. $58 - 45 = 13$. Hampir. Coba kita cek kembali $3n^2 + 17n - 870 = 0$. Kita kembali ke rumus ABC:
n = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
n = [-17 ± sqrt(17² - 4(3)(-870))] / 2(3)
n = [-17 ± sqrt(289 + 10440)] / 6
n = [-17 ± sqrt(10729)] / 6Akar dari 10729 adalah 103.49... Jika hasil yang dicari adalah bilangan bulat, ini mengindikasikan bahwa ada kesalahan asumsi atau bilangan dalam soal (435) yang menyebabkan $n$ bukan bilangan bulat. Dalam konteks ujian matematika standar, $n$ harus bilangan bulat.
Asumsi: Angka 435 seharusnya 450.
Jika $S_n = 450$: $3n^2 + 17n - 900 = 0$. $3 \times 900 = 2700$. Faktor dari 2700 yang selisihnya 17 adalah 67 dan 50? Tidak. 75 dan 58? Tidak. $54$ dan $50$? Tidak.
Mari kita kembali ke nilai 435 dan mencari kesalahan faktorisasi sebelumnya. Jika kita memaksakan $n=15$, $S_{15} = 15/2 [20 + 14 \times 3] = 7.5 [20 + 42] = 7.5 \times 62 = 465$. Jadi $n$ pasti sedikit kurang dari 15. Ini berarti $n$ bukanlah bilangan bulat, yang sangat jarang terjadi dalam soal barisan aritmetika standar yang disajikan di tingkat pendidikan menengah.
Namun, dalam penyelesaian soal yang baku, jika $n$ bukan bilangan bulat, kita harus menyatakan bahwa tidak ada bilangan suku bulat yang menghasilkan total 435. Kita harus mencatat bahwa dalam konteks matematika, $n$ sebagai posisi harus merupakan anggota himpunan bilangan asli ($\mathbb{N}$).
Mari kita modifikasi contoh agar hasilnya bulat. Jika $S_n = 465$. Maka $n=15$.
Jika S_n = 465:
3n² + 17n - 930 = 0
(3n + 62)(n - 15) = 0
n = 15 (diambil karena positif dan bulat)Banyaknya suku dalam deret (dengan $S_n=465$) adalah 15.
Meskipun barisan aritmetika adalah barisan tingkat pertama (beda konstan pada tingkat pertama), pemahaman terhadap barisan ini membantu kita menganalisis barisan bertingkat yang memiliki beda konstan pada tingkat kedua, ketiga, dan seterusnya.
Barisan bertingkat dua adalah barisan di mana selisih antara suku-suku berurutan (tingkat pertama) membentuk barisan aritmetika, dan selisih dari selisih tersebut (tingkat kedua) adalah konstan.
Contoh: 2, 6, 12, 20, 30, ...
Karena beda konstan ditemukan pada tingkat kedua, rumus $U_n$ untuk barisan ini akan berbentuk kuadrat: $U_n = An^2 + Bn + C$. Suku ke-n barisan bertingkat dua dapat diturunkan menggunakan kombinasi $U_1$ dan beda di setiap tingkat. Barisan aritmetika biasa ($U_n = bn + c$) adalah kasus khusus di mana $A=0$ (tidak ada tingkat kedua yang konstan).
Kadang-kadang, kita menemui deret yang merupakan perkalian suku dari barisan aritmetika dan barisan geometri. Deret seperti ini disebut Deret Aritmetika-Geometri.
Contoh: $1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 8 + 7 \cdot 16 + ...$
Suku pertamanya (1, 3, 5, 7, ...) adalah Barisan Aritmetika ($a=1, b=2$). Suku keduanya (2, 4, 8, 16, ...) adalah Barisan Geometri. Teknik penjumlahannya melibatkan manipulasi deret yang lebih rumit, menunjukkan bagaimana konsep aritmetika seringkali menjadi dasar untuk studi deret yang lebih maju.
Untuk memahami sepenuhnya stabilitas dan keindahan barisan aritmetika, penting untuk melihat beberapa bukti formal dan konsep yang lebih jauh.
Kita dapat membuktikan rumus $U_n = a + (n-1)b$ menggunakan induksi matematika, sebuah teknik pembuktian standar untuk pernyataan yang melibatkan bilangan asli $n$.
Basis Induksi (n=1):
U₁ = a + (1 - 1)b
U₁ = a + 0b = aPernyataan benar untuk $n=1$, karena $U_1$ memang sama dengan $a$.
Hipotesis Induksi (n=k):
Asumsikan pernyataan benar untuk $n=k$, yaitu $U_k = a + (k-1)b$.
Langkah Induksi (n=k+1):
Kita harus membuktikan bahwa $U_{k+1} = a + ((k+1)-1)b = a + kb$.
Menurut definisi barisan aritmetika, suku berikutnya adalah suku sebelumnya ditambah beda:
U_{k+1} = U_k + bSubstitusikan Hipotesis Induksi ($U_k$):
U_{k+1} = [a + (k-1)b] + b
U_{k+1} = a + kb - b + b
U_{k+1} = a + kbKarena pernyataan benar untuk $n=1$, dan jika benar untuk $k$ maka benar untuk $k+1$, maka berdasarkan prinsip induksi matematika, rumus $U_n = a + (n-1)b$ berlaku untuk semua bilangan asli $n$.
Dalam konteks barisan aritmetika, rata-rata aritmetika sangat alami. Jika kita mengambil tiga suku berurutan $U_k, U_{k+1}, U_{k+2}$, suku tengah ($U_{k+1}$) adalah rata-rata aritmetika dari dua suku lainnya.
Pembuktian:
U_k = U_{k+1} - b
U_{k+2} = U_{k+1} + b
Jumlah = U_k + U_{k+2} = (U_{k+1} - b) + (U_{k+1} + b)
Jumlah = 2U_{k+1}
U_{k+1} = (U_k + U_{k+2}) / 2Sifat ini menjamin bahwa dalam setiap tiga suku berturut-turut, suku di tengah berfungsi sebagai titik keseimbangan yang sempurna antara suku sebelum dan sesudahnya. Ini adalah ciri khas yang mendefinisikan hubungan linear diskrit.
Seringkali, contoh yang diberikan menggunakan beda positif ($b>0$), menghasilkan barisan menaik. Namun, ketika beda negatif ($b<0$), barisan tersebut menurun nilainya, tetapi konsep dan rumusnya tetap sama.
Contoh: 50, 47, 44, 41, ... (di mana $a=50, b=-3$).
Penting untuk dicatat bahwa jika barisan menurun, akan ada titik di mana suku-suku tersebut melintasi nol dan menjadi bilangan negatif. Untuk menemukan kapan ini terjadi, kita mencari $n$ saat $U_n < 0$.
Kapan barisan di atas menjadi negatif? ($U_n < 0$)
50 + (n - 1)(-3) < 0
50 - 3n + 3 < 0
53 - 3n < 0
53 < 3n
n > 53/3
n > 17.67Karena $n$ harus bilangan bulat, suku ke-18 ($U_{18}$) adalah suku negatif pertama. (U₁₇ = 50 + 16(-3) = 2. U₁₈ = 50 + 17(-3) = -1).
Analisis ini menunjukkan kemampuan Barisan Aritmetika untuk memodelkan proses deplesi, penyusutan nilai, atau perlambatan yang terjadi secara konstan.
Barisan aritmetika adalah pilar penting dalam matematika dasar dan terapan. Penguasaan pola linear diskrit ini membuka jalan bagi pemahaman konsep kalkulus, deret tak hingga, dan model ekonomi yang lebih kompleks. Inti dari semua pembahasan panjang ini dapat diringkas dalam tiga formula utama yang harus selalu diingat:
Setiap konsep dan rumus yang dibahas, mulai dari suku tengah hingga aplikasi di bidang fisika dan keuangan, berakar kuat pada beda konstan $b$ dan sifat linear yang menjadi ciri khas utama dari barisan aritmetika.
Pemahaman yang mendalam mengenai bagaimana suku-suku ini disusun, bagaimana akumulasi mereka dihitung, dan bagaimana mereka berinteraksi dengan sifat-sifat matematis lainnya akan memastikan bahwa alat matematika ini dapat digunakan secara efektif untuk memecahkan berbagai tantangan kuantitatif yang dihadapi.