Eksplorasi Mendalam Baris dan Deret Aritmatika Terlengkap

I. Konsep Dasar Baris Aritmatika

Baris aritmatika, yang sering disebut juga barisan hitung, merupakan salah satu konsep fundamental dalam matematika, khususnya dalam studi tentang pola bilangan. Inti dari baris aritmatika adalah keteraturan; setiap suku (elemen) berikutnya dalam barisan diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan konstan pada suku sebelumnya. Bilangan konstan inilah yang menjadi ciri khas dan kunci utama dalam analisis baris aritmatika, dikenal sebagai **beda** atau *selisih umum* (dilambangkan dengan $b$ ).

Untuk memahami baris aritmatika secara mendalam, kita harus mengakui bahwa ia merepresentasikan pertumbuhan atau penurunan linear. Jika kita memplot suku-suku barisan ini pada grafik, hasilnya selalu berupa titik-titik yang terletak pada garis lurus. Inilah mengapa baris aritmatika memiliki kaitan erat dengan fungsi linear dalam aljabar.

Definisi Formal dan Terminologi

Barisan bilangan $U_1, U_2, U_3, \dots, U_n$ disebut barisan aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Secara matematis, hal ini dapat dituliskan sebagai:

$U_2 - U_1 = b$
$U_3 - U_2 = b$
$U_n - U_{n-1} = b$

Dalam konteks ini, terminologi yang wajib dikuasai adalah:

**Suku Pertama ( $a$ atau $U_1$ ):** Elemen awal dari barisan.
**Beda ( $b$ ):** Selisih konstan antara dua suku berurutan. Beda dapat bernilai positif (barisan naik), negatif (barisan turun), atau nol (barisan konstan).
**Suku ke-n ( $U_n$ ):** Elemen pada posisi ke- $n$ dalam barisan.

Gambar 1: Ilustrasi visual Baris Aritmatika. Jarak horizontal antara setiap suku (beda, b) selalu konstan.

II. Formula Suku ke-n ( $U_n$ ) dan Derivasinya

Kemampuan untuk menentukan suku ke- $n$ tanpa harus menghitung semua suku sebelumnya adalah inti efisiensi dari baris aritmatika. Formula ini diturunkan melalui pola penambahan beda ( $b$ ).

Proses Derivasi Formula

Misalkan suku pertama adalah $a$ . Kita dapat menuliskan setiap suku dalam kaitannya dengan $a$ dan $b$ :

$U_1 = a$
$U_2 = U_1 + b = a + 1b$
$U_3 = U_2 + b = (a + b) + b = a + 2b$
$U_4 = U_3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b$

Dari pola di atas, kita mengamati bahwa koefisien $b$ selalu satu kurang dari nomor suku ( $n$ ). Dengan demikian, rumus umum untuk suku ke- $n$ adalah:

$$ U_n = a + (n-1)b $$

Penggunaan formula ini memungkinkan kita melompati perhitungan suku-suku perantara. Sebagai contoh, jika kita memiliki barisan 5, 8, 11, 14, dan ingin mencari suku ke-100:

Contoh Penggunaan U_n

Diketahui barisan aritmatika: 5, 8, 11, 14, ... Tentukan $U_{100}$ .

Identifikasi: $a = 5$ (suku pertama).
Hitung beda: $b = 8 - 5 = 3$ .
Substitusikan ke rumus $U_n = a + (n-1)b$ , dengan $n = 100$ .
$U_{100} = 5 + (100 - 1) \times 3$
$U_{100} = 5 + (99) \times 3$
$U_{100} = 5 + 297 = 302$

Suku ke-100 dari barisan tersebut adalah 302.

Hubungan antara Suku Non-Berurutan

Seringkali dalam soal, kita hanya diberikan dua suku yang posisinya berjauhan, misalnya $U_p$ dan $U_q$ . Kita dapat menggunakan dua persamaan simultan untuk menemukan $a$ dan $b$ , atau menggunakan formula beda yang lebih efisien:

Karena $U_q = a + (q-1)b$ dan $U_p = a + (p-1)b$ , jika kita mengurangkan kedua persamaan tersebut:

$U_q - U_p = [(a + (q-1)b)] - [(a + (p-1)b)]$

$U_q - U_p = a - a + (q-1)b - (p-1)b$

$U_q - U_p = (q - 1 - p + 1)b$

$$ U_q - U_p = (q - p)b \quad \text{atau} \quad b = \frac{U_q - U_p}{q - p} $$

Formula ini sangat kuat karena memungkinkan kita menemukan beda tanpa perlu mengetahui suku pertama ( $a$ ) terlebih dahulu. Perbedaan antara dua suku aritmatika hanyalah hasil kali beda umum ( $b$ ) dengan selisih posisi mereka.

Contoh Menentukan Beda dari Dua Suku Jauh

Diketahui suku ke-5 adalah 18 ( $U_5 = 18$ ) dan suku ke-12 adalah 39 ( $U_{12} = 39$ ). Tentukan beda ( $b$ ) barisan tersebut.

Identifikasi: $q=12$ , $p=5$ .
Gunakan rumus beda: $b = (U_{12} - U_5) / (12 - 5)$
$b = (39 - 18) / 7$
$b = 21 / 7 = 3$

Beda barisan tersebut adalah 3. Setelah $b$ ditemukan, kita dapat mencari $a$ dengan mensubstitusikannya kembali ke salah satu persamaan, misalnya $U_5 = a + 4b$ :

$18 = a + 4(3) \Rightarrow 18 = a + 12 \Rightarrow a = 6$ .

III. Deret Aritmatika: Penjumlahan Suku-Suku ( $S_n$ )

Deret aritmatika adalah hasil penjumlahan dari suku-suku dalam baris aritmatika. Penjumlahan ini dilambangkan dengan $S_n$ , yang berarti jumlah dari $n$ suku pertama.

Metode Gauss dan Formula Summasi

Formula untuk menghitung $S_n$ secara cepat dikreditkan pada matematikawan cilik Carl Friedrich Gauss. Legenda mengatakan bahwa saat berusia 10 tahun, ia diminta gurunya menjumlahkan bilangan 1 hingga 100 untuk menyibukkan dirinya. Gauss menemukan pola bahwa pasangan bilangan di kedua ujung (1+100, 2+99, 3+98, ...) selalu menghasilkan jumlah yang sama (101).

Deret aritmatika dapat dituliskan dalam dua arah:

S_n = U_1 + U_2 + \dots + U_{n-1} + U_n

S_n = U_n + U_{n-1} + \dots + U_2 + U_1

Jika kita menjumlahkan kedua persamaan ini suku demi suku, kita peroleh:

$2S_n = (U_1 + U_n) + (U_2 + U_{n-1}) + \dots + (U_n + U_1)$

Karena $U_k + U_{n-k+1}$ selalu sama dengan $U_1 + U_n$ (prinsip simetri), dan terdapat $n$ pasangan suku, maka:

$2S_n = n \times (U_1 + U_n)$

Rumus Deret Aritmatika (Bentuk 1)

$$ S_n = \frac{n}{2}(a + U_n) $$

Kita juga dapat menyubstitusikan rumus $U_n = a + (n-1)b$ ke dalam formula di atas untuk mendapatkan rumus yang hanya bergantung pada $a$ , $n$ , dan $b$ :

Rumus Deret Aritmatika (Bentuk 2)

$$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $$

Karakteristik Pertumbuhan Kuadratis S_n

Perhatikan bahwa jika kita membuka kurung pada Formula Bentuk 2, $S_n$ adalah fungsi kuadrat terhadap $n$ :

$S_n = \frac{n}{2} [2a + nb - b] = n \left[ \left( a - \frac{b}{2} \right) + \frac{b}{2} n \right]$

$S_n = \frac{b}{2} n^2 + \left( a - \frac{b}{2} \right) n$

Ini menunjukkan bahwa jumlah deret aritmatika bertambah secara parabolik (kuadratis), berbeda dengan suku individual ( $U_n$ ) yang bertambah secara linear.

Contoh Perhitungan Deret

Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari barisan aritmatika: 7, 10, 13, ...

Identifikasi: $a = 7$ , $b = 3$ , $n = 20$ .
Gunakan Formula Bentuk 2: $S_{20} = \frac{20}{2}(2(7) + (20-1)3)$
$S_{20} = 10 (14 + (19)3)$
$S_{20} = 10 (14 + 57)$
$S_{20} = 10 (71) = 710$

Hubungan antara S_n dan U_n

Terdapat hubungan penting yang memungkinkan kita mencari suku ke- $n$ jika kita mengetahui jumlah $n$ suku pertama ( $S_n$ ) dan jumlah $n-1$ suku pertama ( $S_{n-1}$ ).

Karena $S_n = U_1 + U_2 + \dots + U_{n-1} + U_n$ dan $S_{n-1} = U_1 + U_2 + \dots + U_{n-1}$ , maka:

$$ U_n = S_n - S_{n-1} $$

Formula ini sangat berguna ketika barisan aritmatika disajikan dalam bentuk fungsi penjumlahan. Misalnya, jika diketahui $S_n = 3n^2 + 5n$ , kita dapat mencari $U_n$ dan bedanya.

Contoh Menggunakan Hubungan S_n dan U_n

Jika jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika adalah $S_n = 2n^2 + 4n$ , tentukan beda deret tersebut.

Cari $S_1$ (yang sama dengan $U_1$ ): $S_1 = 2(1)^2 + 4(1) = 6$ . Jadi, $a = 6$ .
Cari $S_2$ : $S_2 = 2(2)^2 + 4(2) = 8 + 8 = 16$ .
Cari $U_2$ : $U_2 = S_2 - S_1 = 16 - 6 = 10$ .
Tentukan beda: $b = U_2 - U_1 = 10 - 6 = 4$ .

Beda dari deret tersebut adalah 4. Perhatikan bahwa beda $b$ adalah dua kali koefisien $n^2$ dalam rumus $S_n$ ( $2 \times 2 = 4$ ). Ini adalah shortcut yang valid untuk deret aritmatika yang lengkap (tanpa konstanta tambahan).

IV. Interpolasi dan Sisipan Suku

Interpolasi dalam baris aritmatika berarti menyisipkan sejumlah suku di antara dua suku yang sudah ada sehingga membentuk barisan aritmatika baru yang lebih panjang. Proses ini penting dalam banyak aplikasi yang memerlukan densitas data yang lebih tinggi atau pembagian interval yang seragam.

Formula Beda Baru

Misalkan kita memiliki dua bilangan, $x$ dan $y$ , dan kita ingin menyisipkan $k$ bilangan di antaranya. Barisan baru yang terbentuk akan memiliki suku pertama $x$ dan suku terakhir $y$ .

Jika disisipkan $k$ suku, maka total suku baru ( $n_{baru}$ ) adalah $k + 2$ . Suku $y$ akan menjadi suku ke- $(k+2)$ .

Kita tahu bahwa selisih antara suku ke- $(k+2)$ dan suku ke-1 adalah $(k+2 - 1)b_{baru}$ , atau $(k+1)b_{baru}$ . Maka:

$y - x = (k+1)b_{baru}$

Beda Baru (b_baru) setelah Interpolasi

$$ b_{baru} = \frac{y - x}{k + 1} $$

Di mana $k$ adalah jumlah suku yang disisipkan.

Contoh Interpolasi

Di antara bilangan 10 dan 85 disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika baru. Tentukan barisan baru tersebut dan beda barunya.

Identifikasi: $x = 10$ , $y = 85$ , $k = 4$ .
Hitung beda baru ( $b_{baru}$ ): $b_{baru} = \frac{85 - 10}{4 + 1} = \frac{75}{5} = 15$ .
Barisan baru: Dimulai dari 10 dan ditambahkan 15 secara berurutan.
Barisan baru: 10, (10+15), (25+15), (40+15), (55+15), 85.
Hasil: 10, 25, 40, 55, 70, 85.

Konsep interpolasi ini sangat penting dalam bidang teknik dan pemrograman, terutama ketika membuat urutan nilai yang harus memiliki perubahan langkah yang konsisten antara titik awal dan akhir, seperti dalam grafik atau animasi yang linear.

V. Aplikasi Praktis Baris dan Deret Aritmatika

Baris dan deret aritmatika bukanlah sekadar konsep abstrak, melainkan alat matematika yang digunakan untuk memodelkan berbagai fenomena di dunia nyata yang menunjukkan pertumbuhan atau penurunan yang stabil.

1. Keuangan dan Perbankan

Dalam konteks keuangan, baris aritmatika paling sering terlihat dalam perhitungan bunga tunggal (simple interest) atau skema cicilan linear.

**Bunga Tunggal:** Jika modal awal diinvestasikan dengan bunga tunggal, total uang yang terkumpul setiap periode akan membentuk baris aritmatika. Kenaikan uang (jumlah bunga) adalah beda ( $b$ ) yang konstan.
**Depresiasi Aset:** Metode penyusutan garis lurus (straight-line depreciation) pada aset perusahaan menyebabkan nilai buku aset berkurang dengan jumlah yang sama setiap tahunnya. Nilai buku tahunan membentuk baris aritmatika menurun.

Contoh Aplikasi Keuangan (Depresiasi)

Sebuah mesin dibeli seharga Rp 100.000.000 dan diprediksi mengalami penyusutan nilai sebesar Rp 5.000.000 per tahun. Tentukan nilai mesin pada akhir tahun ke-8.

Suku pertama ( $a$ ): Nilai awal = 100.000.000.
Beda ( $b$ ): Penyusutan = -5.000.000 (negatif karena menurun).
Tahun ke-8 adalah suku ke-9 ( $U_9$ ), karena $U_1$ adalah nilai awal (tahun ke-0).
$U_9 = a + (9-1)b$
$U_9 = 100.000.000 + 8(-5.000.000)$
$U_9 = 100.000.000 - 40.000.000 = 60.000.000$ .

Nilai mesin pada akhir tahun ke-8 adalah Rp 60.000.000.

2. Pola Geometri dan Susunan

Pola penataan objek yang bertambah secara konstan sering dimodelkan dengan deret aritmatika, seperti susunan kursi di bioskop atau tumpukan balok.

Contoh Susunan Kursi

Sebuah aula memiliki 15 baris kursi. Baris pertama memiliki 20 kursi, dan setiap baris berikutnya bertambah 3 kursi dari baris sebelumnya. Tentukan total kapasitas kursi aula tersebut.

Identifikasi: $a = 20$ , $b = 3$ , $n = 15$ .
Tujuan: Mencari total jumlah kursi ( $S_{15}$ ).
$S_{15} = \frac{15}{2}(2a + (15-1)b)$
$S_{15} = 7.5 (2(20) + 14(3))$
$S_{15} = 7.5 (40 + 42)$
$S_{15} = 7.5 (82) = 615$ .

Total kapasitas aula adalah 615 kursi.

VI. Konsep Suku Tengah ( $U_t$ )

Dalam baris aritmatika yang memiliki jumlah suku ganjil, selalu ada satu suku yang terletak tepat di tengah barisan. Suku ini disebut suku tengah ( $U_t$ ). Konsep ini sangat berguna untuk memverifikasi keakuratan barisan atau mencari informasi yang hilang.

Posisi dan Nilai Suku Tengah

Jika barisan memiliki $n$ suku (di mana $n$ ganjil), maka posisi suku tengah ( $t$ ) adalah:

$$ t = \frac{n + 1}{2} $$

Nilai dari suku tengah ( $U_t$ ) memiliki hubungan istimewa dengan suku pertama ( $a$ atau $U_1$ ) dan suku terakhir ( $U_n$ ). Karena suku tengah berada di posisi yang simetris, nilainya adalah rata-rata aritmatika dari suku pertama dan suku terakhir:

$$ U_t = \frac{U_1 + U_n}{2} $$

Lebih lanjut, jika kita menjumlahkan semua suku dalam barisan dengan jumlah ganjil, kita dapat menggunakan suku tengah untuk menyederhanakan perhitungan $S_n$ :

$S_n = \frac{n}{2} (U_1 + U_n)$

Karena $U_1 + U_n = 2U_t$ , maka:

$$ S_n = n \times U_t $$

Contoh Suku Tengah

Barisan aritmatika 3, 7, 11, ..., 51. Tentukan suku tengahnya dan total jumlah suku.

Identifikasi: $a = 3$ , $U_n = 51$ .
Hitung suku tengah: $U_t = (3 + 51) / 2 = 54 / 2 = 27$ .
Untuk mencari $n$ , kita perlu $b$ : $b = 7 - 3 = 4$ .
Gunakan $U_n = a + (n-1)b$ : $51 = 3 + (n-1)4$ .
$48 = 4(n-1) \Rightarrow 12 = n-1 \Rightarrow n = 13$ .
Verifikasi posisi suku tengah: $t = (13 + 1) / 2 = 7$ . Jadi $U_7 = 27$ .
Jumlah total: $S_{13} = 13 \times U_t = 13 \times 27 = 351$ .

VII. Baris Aritmatika Bertingkat (Deret Kuadratis)

Tidak semua barisan memiliki beda yang konstan pada tingkat pertama. Baris aritmatika bertingkat (sering juga disebut barisan kuadratis atau tingkat dua) adalah barisan di mana beda antara suku-suku berurutan membentuk barisan aritmatika lain. Dengan kata lain, beda dari beda (selisih kedua) adalah konstan.

Struktur Barisan Bertingkat

Perhatikan barisan: 2, 6, 12, 20, 30, ...

Selisih Tingkat 1 (Baris Beda): 4, 6, 8, 10, ...
Selisih Tingkat 2 (Beda Konstan): 2, 2, 2, ...

Karena selisih kedua konstan, barisan ini adalah barisan aritmatika bertingkat dua. Rumus suku ke- $n$ dari barisan seperti ini akan berbentuk kuadratis: $U_n = An^2 + Bn + C$ .

Menentukan Rumus U_n pada Tingkat Dua

Kita dapat menemukan koefisien $A, B,$ dan $C$ menggunakan sistem persamaan linier berdasarkan beda pertama ( $b_1$ ) dan beda konstan ( $b_2$ ).

Jika $U_n = An^2 + Bn + C$ , maka:

$2A = b_2$ (Beda tingkat kedua)
$3A + B = b_1$ (Suku pertama dari beda tingkat pertama, yaitu $U_2 - U_1$ )
$A + B + C = U_1$ (Suku pertama barisan asli)

Contoh Barisan Bertingkat Dua

Tentukan rumus suku ke- $n$ untuk barisan 2, 6, 12, 20, 30, ...

Beda Tingkat 1: 4, 6, 8, 10. ( $b_1 = 4$ )
Beda Tingkat 2: 2, 2, 2. ( $b_2 = 2$ )
$U_1 = 2$ .

Sistem Persamaan:

(i) $2A = 2 \Rightarrow A = 1$
(ii) $3A + B = 4 \Rightarrow 3(1) + B = 4 \Rightarrow B = 1$
(iii) $A + B + C = 2 \Rightarrow 1 + 1 + C = 2 \Rightarrow C = 0$

Substitusi kembali ke $U_n = An^2 + Bn + C$ :

$$ U_n = 1n^2 + 1n + 0 = n^2 + n $$

Meskipun barisan ini menghasilkan pola kuadratis, pemecahannya sepenuhnya bergantung pada analisis baris aritmatika dari beda-beda yang dihasilkan.

VIII. Studi Kasus dan Analisis Soal Komprehensif

Untuk menguasai baris dan deret aritmatika, diperlukan latihan mendalam yang menggabungkan semua konsep yang telah dipelajari—suku ke- $n$ , jumlah $n$ suku, suku tengah, dan manipulasi aljabar.

Studi Kasus 1: Menemukan Barisan dari Informasi Deret

Diketahui deret aritmatika memiliki jumlah 4 suku pertama ( $S_4$ ) sebesar 30 dan jumlah 6 suku pertama ( $S_6$ ) sebesar 60. Tentukan suku ke-10 ( $U_{10}$ ) barisan tersebut.

Langkah 1: Membuat Sistem Persamaan

Kita gunakan rumus $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$ untuk membentuk dua persamaan dengan variabel $a$ dan $b$ .

Untuk $S_4 = 30$ :

$30 = \frac{4}{2}(2a + (4-1)b)$

$30 = 2(2a + 3b)$

(i) $15 = 2a + 3b$

Untuk $S_6 = 60$ :

$60 = \frac{6}{2}(2a + (6-1)b)$

$60 = 3(2a + 5b)$

(ii) $20 = 2a + 5b$

Langkah 2: Eliminasi untuk Menemukan Beda ( $b$ )

Kurangi persamaan (i) dari persamaan (ii):

  2a + 5b = 20
  2a + 3b = 15
  ----------- (-)
       2b = 5
        b = 2.5

Beda barisan tersebut adalah 2.5.

Langkah 3: Substitusi untuk Menemukan Suku Pertama ( $a$ )

Substitusikan $b = 2.5$ ke persamaan (i):

$15 = 2a + 3(2.5)$

$15 = 2a + 7.5$

$7.5 = 2a$

$a = 3.75$

Langkah 4: Menghitung Suku ke-10 ( $U_{10}$ )

Gunakan rumus $U_n = a + (n-1)b$ , dengan $n=10$ :

$U_{10} = 3.75 + (10 - 1) \times 2.5$

$U_{10} = 3.75 + 9 \times 2.5$

$U_{10} = 3.75 + 22.5 = 26.25$

Suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 26.25.

Studi Kasus 2: Deret Aritmatika dalam Konteks Industri

Sebuah perusahaan memproduksi 1.200 unit barang pada bulan pertama operasinya. Karena adanya peningkatan efisiensi, jumlah produksi meningkat secara konstan sebesar $x$ unit setiap bulan. Jika total produksi selama 6 bulan pertama adalah 8.100 unit, berapakah peningkatan produksi bulanan ( $x$ ) dan berapa produksi pada bulan ke-12?

Langkah 1: Mengidentifikasi Variabel

$a = U_1 = 1200$ (Produksi bulan pertama)

$S_6 = 8100$ (Total produksi 6 bulan)

$b = x$ (Peningkatan konstan yang dicari)

Langkah 2: Menentukan Beda ( $x$ )

Gunakan $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$ :

$8100 = \frac{6}{2}(2(1200) + (6-1)x)$

$8100 = 3(2400 + 5x)$

Bagi kedua sisi dengan 3:

$2700 = 2400 + 5x$

$300 = 5x$

$x = 60$

Peningkatan produksi bulanan ( $b$ ) adalah 60 unit.

Langkah 3: Menghitung Produksi Bulan ke-12 ( $U_{12}$ )

Gunakan $U_n = a + (n-1)b$ :

$U_{12} = 1200 + (12 - 1) \times 60$

$U_{12} = 1200 + 11 \times 60$

$U_{12} = 1200 + 660 = 1860$

Produksi pada bulan ke-12 adalah 1.860 unit.

Studi Kasus 3: Memanfaatkan Suku Tengah dan Jumlah Suku

Terdapat barisan aritmatika ganjil dengan 15 suku. Suku ke-4 adalah 17 dan suku ke-12 adalah 57. Tentukan suku tengah barisan tersebut dan jumlah seluruh suku.

Langkah 1: Menentukan Beda ( $b$ )

Gunakan hubungan selisih suku non-berurutan:

$b = \frac{U_{12} - U_4}{12 - 4} = \frac{57 - 17}{8} = \frac{40}{8} = 5$

Beda barisan adalah 5.

Langkah 2: Menentukan Suku Pertama ( $a$ )

Gunakan $U_4 = a + 3b$ :

$17 = a + 3(5)$

$17 = a + 15 \Rightarrow a = 2$

Langkah 3: Menentukan Suku Terakhir ( $U_{15}$ )

$U_{15} = a + (15-1)b$

$U_{15} = 2 + 14(5) = 2 + 70 = 72$

Langkah 4: Menghitung Suku Tengah ( $U_t$ ) dan Jumlah ( $S_{15}$ )

Posisi suku tengah: $t = (15+1)/2 = 8$ . Jadi kita mencari $U_8$ .

Menggunakan rumus suku tengah: $U_8 = \frac{U_1 + U_{15}}{2} = \frac{2 + 72}{2} = \frac{74}{2} = 37$ .

Jumlah seluruh suku ( $S_{15}$ ):

$S_{15} = n \times U_t = 15 \times 37 = 555$

Studi Kasus 4: Analisis Mendalam Barisan Bertingkat

Diberikan barisan bertingkat: 4, 11, 22, 37, 56, ... Tentukan suku ke-20 dari barisan ini.

Langkah 1: Analisis Beda

Barisan Asli ( $U_n$ ): 4, 11, 22, 37, 56
Beda Tingkat 1: 7, 11, 15, 19 ( $b_1 = 7$ )
Beda Tingkat 2 ( $b_2$ ): 4, 4, 4. (Konstan, $b_2 = 4$ )

Kita tahu $U_n = An^2 + Bn + C$ , dengan $U_1 = 4$ .

Langkah 2: Menentukan Koefisien A, B, C

(i) $2A = b_2 \Rightarrow 2A = 4 \Rightarrow A = 2$

(ii) $3A + B = b_1 \Rightarrow 3(2) + B = 7 \Rightarrow 6 + B = 7 \Rightarrow B = 1$

(iii) $A + B + C = U_1 \Rightarrow 2 + 1 + C = 4 \Rightarrow 3 + C = 4 \Rightarrow C = 1$

Langkah 3: Menentukan Rumus Suku ke-n

Rumus umum: $U_n = 2n^2 + 1n + 1$

Langkah 4: Menghitung Suku ke-20 ( $U_{20}$ )

$U_{20} = 2(20)^2 + 20 + 1$

$U_{20} = 2(400) + 21$

$U_{20} = 800 + 21 = 821$

Suku ke-20 dari barisan bertingkat tersebut adalah 821.

Studi Kasus 5: Analisis Jumlah Suku Negatif

Tentukan jumlah maksimum suku barisan aritmatika -100, -95, -90, ... agar total jumlahnya ( $S_n$ ) tidak lebih dari -400.

Langkah 1: Identifikasi dan Rumus S_n

$a = -100$ , $b = 5$ .

Kita mencari $n$ terbesar sehingga $S_n \leq -400$ .

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$

$S_n = \frac{n}{2}(2(-100) + (n-1)5)$

$S_n = \frac{n}{2}(-200 + 5n - 5)$

$S_n = \frac{n}{2}(5n - 205)$

Langkah 2: Membentuk Pertidaksamaan Kuadratis

$\frac{n}{2}(5n - 205) \leq -400$

$n(5n - 205) \leq -800$

$5n^2 - 205n + 800 \leq 0$

Bagi dengan 5:

$n^2 - 41n + 160 \leq 0$

Langkah 3: Mencari Akar Persamaan

Untuk mencari nilai $n$ yang memenuhi pertidaksamaan, kita cari akar-akar dari $n^2 - 41n + 160 = 0$ . Kita bisa menggunakan faktorisasi atau rumus kuadratis, namun coba cari bilangan yang dikalikan 160 dan dijumlahkan 41. (Sulit difaktorkan, gunakan rumus kuadratis).

$n = \frac{-(-41) \pm \sqrt{(-41)^2 - 4(1)(160)}}{2(1)}$

$n = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 640}}{2}$

$n = \frac{41 \pm \sqrt{1041}}{2}$

Nilai $\sqrt{1041}$ sekitar 32.26.

Akar-akar perkiraan:

$n_1 \approx \frac{41 - 32.26}{2} = \frac{8.74}{2} = 4.37$

$n_2 \approx \frac{41 + 32.26}{2} = \frac{73.26}{2} = 36.63$

Langkah 4: Menentukan Solusi Bilangan Bulat

Karena kita mencari nilai $n$ (jumlah suku) yang harus merupakan bilangan bulat, dan grafik parabola terbuka ke atas, pertidaksamaan $n^2 - 41n + 160 \leq 0$ terpenuhi untuk $4.37 \leq n \leq 36.63$ .

Karena $n$ harus bilangan bulat, maka $n$ berkisar antara 5 hingga 36.

Pertanyaan meminta jumlah maksimum suku agar total jumlahnya tidak lebih dari -400. Nilai $n$ terbesar yang memenuhi adalah $n = 36$ .

Ini menunjukkan pentingnya mempertimbangkan transisi dari barisan negatif ke positif. Suku-suku setelah $U_{21}$ mulai bernilai positif ( $U_{21} = -100 + 20(5) = 0$ ; $U_{22} = 5$ ), dan penjumlahan suku positif akan meningkatkan $S_n$ hingga melampaui -400.

Studi Kasus 6: Interpolasi Kompleks

Dua bilangan 2 dan 18. Jika di antara keduanya disisipkan $k$ bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika dengan jumlah total deret 140. Berapa banyak bilangan yang disisipkan ( $k$ )?

Langkah 1: Mengidentifikasi Variabel dan Hubungan S_n

Suku pertama $a = 2$ , suku terakhir $U_n = 18$ , $S_n = 140$ . Jumlah suku total adalah $n = k + 2$ .

Langkah 2: Menghitung Jumlah Suku Total ( $n$ )

Gunakan rumus $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$ :

$140 = \frac{n}{2}(2 + 18)$

$140 = \frac{n}{2}(20)$

$140 = 10n$

$n = 14$

Barisan baru tersebut memiliki total 14 suku.

Langkah 3: Menghitung Jumlah Sisipan ( $k$ )

Karena $n = k + 2$ , maka:

$k = n - 2$

$k = 14 - 2 = 12$

Jumlah bilangan yang disisipkan adalah 12.

Jika diminta beda barisan baru, kita bisa hitung: $b = (18 - 2) / (12 + 1) = 16 / 13$ .

Studi Kasus 7: Hubungan Fungsional Aritmatika

Dua barisan aritmatika, Barisan P memiliki suku ke-n $U_n = 5n - 1$ . Barisan Q memiliki suku ke-n $V_n = 3n + 2$ . Tentukan beda dari barisan baru R yang didefinisikan sebagai jumlah dari kedua suku tersebut, yaitu $W_n = U_n + V_n$ .

Langkah 1: Analisis Beda Barisan Asli

Beda ( $b$ ) dari barisan aritmatika $U_n = Xn + Y$ selalu sama dengan koefisien $n$ (yaitu $X$ ).

Beda Barisan P ( $b_P$ ): $b_P = 5$ .
Beda Barisan Q ( $b_Q$ ): $b_Q = 3$ .

Langkah 2: Menentukan Rumus Barisan Baru W_n

$W_n = U_n + V_n$

$W_n = (5n - 1) + (3n + 2)$

$W_n = 8n + 1$

Langkah 3: Menentukan Beda Barisan Baru ( $b_W$ )

Karena $W_n$ juga berbentuk linear, bedanya adalah koefisien $n$ .

$b_W = 8$

Atau, secara umum, beda barisan hasil penjumlahan dua barisan aritmatika adalah penjumlahan dari beda masing-masing barisan: $b_W = b_P + b_Q = 5 + 3 = 8$ .

Kesimpulan dari studi kasus ini memperkuat pemahaman bahwa baris aritmatika memiliki sifat linearitas yang stabil terhadap operasi penjumlahan, di mana koefisien $n$ (beda) dari hasil penjumlahan tetap merupakan hasil penjumlahan koefisien $n$ dari komponennya.

IX. Rangkuman dan Signifikansi

Baris aritmatika adalah representasi matematis dari pertumbuhan konstan dan linear. Penguasaan terhadap dua formula utama— $U_n = a + (n-1)b$ untuk suku ke- $n$ dan $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$ untuk jumlah deret—adalah kunci untuk memecahkan sebagian besar masalah terkait.

Kita telah melihat bagaimana konsep beda konstan ( $b$ ) mendefinisikan seluruh barisan, baik itu barisan sederhana maupun yang melibatkan interpolasi. Selain itu, pemahaman bahwa deret aritmatika menghasilkan pola kuadratis ( $S_n$ sebanding dengan $n^2$ ) membuka jalan untuk menganalisis barisan aritmatika bertingkat, yang merupakan jembatan penting menuju studi fungsi kuadratis dan deret pangkat yang lebih kompleks.

Aplikasi praktis baris aritmatika yang meluas di bidang ekonomi, fisika, dan ilmu komputer menegaskan bahwa keteraturan linear ini tetap menjadi salah satu alat pemodelan yang paling fundamental dan esensial dalam matematika terapan.