Menjelajahi Fondasi Matematika Kuantitatif dan Pertumbuhan
Dua pilar fundamental dalam studi urutan bilangan adalah konsep aritmatika dan geometri. Meskipun keduanya berkaitan dengan susunan angka yang teratur, mekanisme pertambahan atau perkaliannya membedakan kedua domain ini secara signifikan. Pemahaman mendalam terhadap struktur ini bukan hanya penting dalam matematika teoretis, tetapi juga menjadi kerangka kerja untuk memodelkan fenomena alam, pertumbuhan populasi, perhitungan finansial, hingga komputasi algoritma yang kompleks.
Dalam konteks matematika urutan, penting untuk membedakan antara Barisan (Sequence) dan Deret (Series). Barisan merujuk pada daftar angka yang tersusun dengan pola tertentu, sementara Deret merujuk pada hasil penjumlahan dari semua suku yang terdapat dalam barisan tersebut. Perbedaan tipis namun krusial ini menjadi titik awal eksplorasi kita terhadap dunia aritmatika dan geometri.
Barisan didefinisikan sebagai fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan asli (1, 2, 3, ...) dan kodomainnya adalah himpunan bilangan riil. Setiap angka dalam barisan disebut sebagai suku (dilambangkan dengan $U_n$).
Deret adalah penjumlahan dari suku-suku barisan. Jika $U_1, U_2, U_3, \dots$ adalah barisan, maka deret yang bersesuaian, dilambangkan $S_n$, adalah $U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_n$. Studi tentang deret sering kali melibatkan konsep konvergensi, terutama ketika jumlah suku mendekati tak hingga.
Barisan aritmatika dicirikan oleh pertambahan atau pengurangan yang konstan antara suku-suku yang berurutan. Selisih konstan ini disebut beda (dilambangkan $b$). Sifat linier dari pertumbuhan aritmatika menjadikannya alat penting dalam memodelkan situasi di mana perubahan terjadi pada laju yang tetap.
Diberikan suku pertama ($a$ atau $U_1$) dan beda ($b$), setiap suku berikutnya ditemukan dengan menambahkan $b$ ke suku sebelumnya. Secara formal, $U_n = U_{n-1} + b$.
Dari pola tersebut, kita dapat menyimpulkan rumus umum suku ke-n:
Di mana $U_n$ adalah suku ke-n, $a$ adalah suku pertama, $n$ adalah posisi suku, dan $b$ adalah beda (selisih) konstan.
Beda ($b$) dapat ditemukan dengan mengurangkan suku yang berurutan: $b = U_n - U_{n-1}$. Lebih lanjut, jika diketahui dua suku sembarang, $U_p$ dan $U_q$, beda dapat ditentukan melalui hubungan:
Jika suatu barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, terdapat suku tengah ($U_t$). Suku tengah ini memiliki sifat unik, di mana ia adalah rata-rata aritmatika dari suku pertama dan suku terakhir, atau rata-rata dari dua suku yang posisinya simetris terhadap suku tengah:
Posisi suku tengah ($t$) dihitung sebagai $t = (n + 1) / 2$. Konsep ini menunjukkan simetri inheren yang dimiliki oleh barisan aritmatika.
Deret aritmatika ($S_n$) adalah total dari $n$ suku pertama barisan aritmatika. Penurunan rumus penjumlahan deret aritmatika sering dikaitkan dengan Carl Friedrich Gauss, yang menemukan pola simetri saat menjumlahkan bilangan. Ide utamanya adalah bahwa penjumlahan pasangan suku yang simetris (suku pertama dan terakhir, suku kedua dan kedua terakhir, dst.) akan menghasilkan nilai yang sama.
Misalkan $S_n$ adalah jumlah $n$ suku. Kita tulis $S_n$ dalam dua cara:
$$ S_n = U_1 + U_2 + \dots + U_{n-1} + U_n $$ $$ S_n = U_n + U_{n-1} + \dots + U_2 + U_1 $$Ketika kedua persamaan ini dijumlahkan, setiap pasangan vertikal akan menghasilkan $(U_1 + U_n)$. Karena terdapat $n$ pasangan, kita dapatkan:
$$ 2 S_n = n (U_1 + U_n) $$Sehingga rumus jumlah $n$ suku pertama adalah:
Dengan mengganti $U_n$ menggunakan rumus barisan ($U_n = a + (n - 1)b$), kita mendapatkan bentuk alternatif yang lebih sering digunakan:
Terdapat hubungan timbal balik yang penting antara deret dan barisan. Suku ke-$n$ dapat ditemukan dengan mengurangkan jumlah $n-1$ suku pertama dari jumlah $n$ suku pertama:
Hubungan ini berlaku universal untuk semua jenis barisan dan deret, namun sangat bermanfaat dalam konteks aritmatika ketika kita hanya diberikan rumus deret $S_n$ sebagai fungsi kuadrat dari $n$. Jika $S_n$ adalah fungsi kuadrat ($An^2 + Bn$), maka barisannya pasti aritmatika.
Struktur linier aritmatika memodelkan skenario di mana akumulasi terjadi pada tingkat yang konstan, seperti gaji yang meningkat tetap setiap bulan, atau jarak yang ditempuh benda dengan kecepatan konstan.
Dalam bidang keuangan, pelunasan pinjaman dengan cicilan pokok yang sama dan bunga dihitung dari sisa pinjaman sering kali mengikuti pola deret aritmatika, di mana jumlah pembayaran bunga berkurang secara konstan (meski total cicilan bulanannya mungkin tetap jika pokok dan bunga digabungkan). Demikian pula, perhitungan depresiasi aset menggunakan metode garis lurus adalah aplikasi langsung dari penurunan aritmatika.
Dalam fisika, pergerakan dengan percepatan konstan (GLBB) adalah contoh sempurna dari barisan aritmatika jika kita melihat kecepatan pada interval waktu yang sama. Kecepatan ($v$) meningkat (atau menurun) sebanyak $a \cdot t$ (percepatan dikali waktu). Jika kita melihat jarak yang ditempuh per detik, jarak tersebut membentuk barisan aritmatika yang bedanya terkait dengan percepatan benda.
Berbeda dengan aritmatika yang menggunakan penjumlahan konstan, barisan geometri dicirikan oleh perkalian yang konstan antara suku-suku yang berurutan. Faktor perkalian konstan ini disebut rasio (dilambangkan $r$). Sifat eksponensial dari pertumbuhan geometri menjadikannya fundamental dalam memodelkan pertumbuhan yang cepat, seperti bunga majemuk, peluruhan radioaktif, dan pertumbuhan biologis.
Diberikan suku pertama ($a$ atau $U_1$) dan rasio ($r$), setiap suku berikutnya ditemukan dengan mengalikan $r$ ke suku sebelumnya. Secara formal, $U_n = U_{n-1} \cdot r$.
Rumus umum suku ke-n dalam barisan geometri adalah:
Perhatikan bahwa $n-1$ adalah pangkat dari rasio, mencerminkan jumlah perkalian yang terjadi setelah suku pertama.
Rasio ($r$) dapat ditemukan dengan membagi suku yang berurutan: $r = U_n / U_{n-1}$. Jika diketahui dua suku sembarang, $U_p$ dan $U_q$, rasio dapat ditentukan melalui hubungan akar:
Sama seperti aritmatika, jika barisan geometri memiliki suku ganjil, terdapat suku tengah ($U_t$). Namun, dalam geometri, suku tengah adalah rata-rata geometris (akar kuadrat dari hasil kali) dari suku pertama dan suku terakhir:
Atau, secara ekivalen, kuadrat suku tengah sama dengan hasil kali suku pertama dan suku terakhir: $U_t^2 = U_1 \cdot U_n$.
Deret geometri ($S_n$) adalah total dari $n$ suku pertama. Penurunan rumusnya melibatkan trik perkalian dan pengurangan untuk menghilangkan suku-suku tengah.
$$ S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} \quad (I) $$Kalikan Persamaan (I) dengan rasio $r$:
$$ r S_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n} \quad (II) $$Kurangi Persamaan (II) dari Persamaan (I):
$$ S_n - r S_n = (a + ar + \dots) - (ar + ar^2 + \dots) $$ $$ S_n (1 - r) = a - ar^n $$Rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri (untuk $r \neq 1$):
Penggunaan salah satu bentuk tergantung pada nilai $r$: bentuk pertama biasanya digunakan jika $|r| < 1$, dan bentuk kedua jika $|r| > 1$, meskipun secara matematis keduanya setara.
Konsep paling menarik dari geometri adalah kemungkinan menjumlahkan suku-suku hingga tak terhingga ($n \to \infty$) dan mendapatkan nilai total yang terbatas. Hal ini hanya mungkin terjadi jika deret tersebut bersifat konvergen.
Deret geometri tak hingga akan konvergen jika nilai mutlak rasionya kurang dari satu:
Jika $|r| \geq 1$, deret tersebut akan divergen, yang berarti jumlah suku-sukunya akan menuju tak hingga ($\pm \infty$).
Jika $|r| < 1$, ketika $n \to \infty$, maka $r^n \to 0$. Menggantikan ini ke rumus deret hingga:
Rumus sederhana ini memiliki implikasi mendalam, memungkinkan kita menjumlahkan jumlah suku yang tak terbatas menjadi sebuah bilangan riil yang pasti.
Filsuf Yunani Zeno dari Elea mengajukan paradoks yang menyatakan bahwa gerakan mustahil. Untuk mencapai titik B dari titik A, seseorang harus terlebih dahulu menempuh setengah jarak ($1/2$), lalu seperempat sisa jarak ($1/4$), kemudian seperdelapan ($1/8$), dan seterusnya. Karena proses ini melibatkan jumlah langkah yang tak terhingga, Zeno menyimpulkan bahwa titik B tidak akan pernah tercapai.
Namun, matematika deret geometri memberikan solusi elegan. Jarak total yang ditempuh adalah deret geometri tak hingga dengan $a = 1/2$ dan $r = 1/2$.
$$ S_{\infty} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = \frac{1/2}{1/2} = 1 $$Hasilnya adalah 1, membuktikan bahwa total jarak yang tak terbatas dari langkah-langkah semakin kecil itu konvergen tepat ke tujuan, yaitu total jarak 1 satuan.
Struktur fraktal, seperti Karpet Sierpinski atau Kurva Koch, sering dibangun melalui proses iterasi geometri. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan deret geometri tak hingga untuk menghitung total panjang (keliling) atau total area yang dicakup oleh struktur fraktal setelah iterasi yang tak terhingga. Meskipun panjang keliling bisa divergen (menjadi tak hingga), luas area yang dicakup fraktal sering kali konvergen, menunjukkan kompleksitas batas matematis.
Aritmatika dan geometri, meski berbeda dalam mekanisme dasarnya (penjumlahan vs. perkalian), terhubung erat melalui fungsi eksponensial dan logaritma. Transformasi ini memungkinkan kita melihat satu pola melalui lensa yang lain.
Barisan geometri dapat diubah menjadi barisan aritmatika menggunakan logaritma. Misalkan $U_n = a r^{n-1}$ adalah barisan geometri. Ambil logaritma dari kedua sisi:
$$ \log(U_n) = \log(a r^{n-1}) $$ $$ \log(U_n) = \log(a) + (n-1) \log(r) $$Jika kita definisikan $A = \log(a)$ dan $B = \log(r)$, maka:
$$ \log(U_n) = A + (n-1) B $$Persamaan di atas adalah bentuk Barisan Aritmatika, di mana suku pertama adalah $\log(a)$ dan bedanya adalah $\log(r)$. Transformasi ini sangat penting dalam analisis data, karena memungkinkan kita "meluruskan" kurva pertumbuhan eksponensial (geometri) menjadi garis lurus (aritmatika) untuk keperluan regresi linier.
Jika kita menyisipkan $k$ suku di antara dua suku, $U_p$ dan $U_{p+1}$, beda baru ($b'$) dapat ditemukan. Selisih total $(U_{p+1} - U_p)$ sekarang dibagi menjadi $k+1$ interval yang sama:
Jika kita menyisipkan $k$ suku di antara dua suku, $U_p$ dan $U_{p+1}$, rasio baru ($r'$) dapat ditemukan. Rasio total $(U_{p+1} / U_p)$ sekarang dibagi menjadi $k+1$ faktor perkalian yang sama:
Aplikasi paling krusial dari geometri adalah dalam perhitungan bunga majemuk, yang merupakan inti dari ilmu ekonomi dan keuangan modern. Modal yang diinvestasikan ($P$) akan tumbuh dengan suku bunga periodik ($i$) selama $n$ periode. Nilai masa depan ($FV$) dihitung berdasarkan barisan geometri.
$$ FV = P (1 + i)^n $$Jika $U_1$ adalah modal awal $P$, maka $r = (1+i)$. Ini menunjukkan pertumbuhan eksponensial yang jauh lebih cepat daripada bunga sederhana (aritmatika).
Anuitas adalah serangkaian pembayaran tetap yang dilakukan pada interval waktu yang sama (misalnya, pembayaran pensiun, cicilan KPR). Menghitung nilai anuitas melibatkan penjumlahan deret geometri, di mana setiap pembayaran mendapatkan faktor bunga yang berbeda tergantung kapan pembayaran itu dilakukan. Ini menggunakan rumus deret geometri hingga, namun diterapkan secara iteratif.
Dalam ilmu komputer, deret geometri digunakan untuk menganalisis kompleksitas waktu dari algoritma rekursif. Misalnya, dalam algoritma pencarian biner (binary search), setiap langkah mengurangi ukuran masalah menjadi setengahnya. Analisis ini sering melibatkan deret geometri di mana $r = 1/2$. Demikian pula, analisis pertumbuhan memori yang dibutuhkan oleh struktur data tertentu seringkali mengikuti pola aritmatika atau geometri tergantung pada bagaimana data dialokasikan.
Untuk memperkuat pemahaman, penting untuk melihat bagaimana konsep-konsep ini dapat dibuktikan secara formal, terutama menggunakan teknik induksi matematika dan manipulasi aljabar.
Kita ingin membuktikan bahwa $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)b]$.
Untuk $n=1$, $S_1 = U_1 = a$. Rumus memberikan: $S_1 = \frac{1}{2} [2a + (1 - 1)b] = \frac{1}{2} [2a] = a$. (Terbukti benar).
Asumsikan rumus benar untuk $n=k$: $S_k = \frac{k}{2} [2a + (k - 1)b]$. Kita harus membuktikan bahwa rumus benar untuk $n=k+1$, yaitu $S_{k+1} = \frac{k+1}{2} [2a + kb]$.
Kita tahu bahwa $S_{k+1} = S_k + U_{k+1}$. $U_{k+1} = a + ((k+1) - 1)b = a + kb$.
$$ S_{k+1} = \frac{k}{2} [2a + (k - 1)b] + (a + kb) $$ $$ S_{k+1} = \frac{1}{2} [k(2a + kb - b) + 2(a + kb)] $$ $$ S_{k+1} = \frac{1}{2} [2ak + k^2b - kb + 2a + 2kb] $$ $$ S_{k+1} = \frac{1}{2} [2a(k + 1) + b(k^2 + k)] $$ $$ S_{k+1} = \frac{1}{2} [2a(k + 1) + b k(k + 1)] $$ $$ S_{k+1} = \frac{k + 1}{2} [2a + bk] $$Karena $\frac{k + 1}{2} [2a + b((k+1) - 1)]$ sesuai dengan rumus untuk $n=k+1$, maka terbukti rumus deret aritmatika berlaku untuk semua $n$ bilangan asli.
Pembuktian konvergensi $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ memerlukan pemahaman batas (limit). Kita harus menunjukkan bahwa limit dari $r^n$ saat $n \to \infty$ adalah nol, dengan syarat $|r| < 1$.
Misalkan $|r| < 1$. Kita tahu bahwa $S_n = \frac{a}{1 - r} - \frac{a r^n}{1 - r}$. Untuk mencari $S_{\infty}$, kita hitung batas dari $S_n$ saat $n$ mendekati tak hingga:
$$ S_{\infty} = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a}{1 - r} - \frac{a r^n}{1 - r} \right) $$Karena $\frac{a}{1 - r}$ adalah konstanta terhadap $n$, kita hanya perlu mengevaluasi $\lim_{n \to \infty} r^n$. Jika $|r| < 1$, setiap kali kita mengalikan $r$ dengan dirinya sendiri, hasilnya akan semakin mendekati nol. Secara formal:
$$ \lim_{n \to \infty} r^n = 0 \quad \text{jika} \quad |r| < 1 $$Maka, suku kedua menjadi nol:
$$ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} - \frac{a (0)}{1 - r} = \frac{a}{1 - r} $$Bukti ini secara tegas menunjukkan bahwa hanya deret dengan rasio kecil yang memiliki jumlah tak hingga yang terbatas.
Dalam studi yang lebih maju, kita menemukan deret di mana setiap suku merupakan hasil kali dari suku barisan aritmatika dan suku barisan geometri. Bentuk umumnya adalah:
$$ S_n = a + (a+b)r + (a+2b)r^2 + \dots + [a+(n-1)b]r^{n-1} $$Deret ini dijumlahkan dengan teknik yang mirip dengan deret geometri standar, yaitu mengalikan seluruh deret dengan $r$ dan mengurangkannya dari deret asli. Namun, hasil pengurangannya sendiri akan menghasilkan deret geometri yang dapat dijumlahkan dengan mudah. Deret campuran ini sering muncul dalam perhitungan nilai sekarang bersih (Net Present Value - NPV) dari arus kas yang tumbuh secara aritmatika namun didiskon secara geometri.
Untuk mengaplikasikan kedalaman konsep yang telah dibahas, kita akan meninjau beberapa studi kasus kompleks yang melibatkan interaksi antara aritmatika dan geometri.
Jika sebuah aset mengalami depresiasi (penyusutan nilai) sebesar persentase tetap (misalnya, 20%) setiap tahun, maka nilai buku aset tersebut membentuk barisan geometri. Ini berbeda dengan depresiasi garis lurus (aritmatika).
Nilai buku pada akhir tahun ke-$n$ ($U_n$) adalah:
$$ U_n = a (1 - d)^{n-1} $$Perhitungan ini menunjukkan bahwa meskipun jumlah depresiasi nominalnya ($U_n - U_{n+1}$) berkurang (membentuk barisan aritmatika), nilai buku aset itu sendiri berkurang dengan rasio geometri. Ini adalah model yang lebih realistis untuk banyak aset berteknologi tinggi.
Beberapa deret geometri memiliki rasio negatif, misalnya $r = -1/2$. Deret: $16, -8, 4, -2, 1, -1/2, \dots$
Meskipun suku-sukunya berganti tanda (oscilasi), deret ini tetap konvergen karena $|r| = |-1/2| = 1/2 < 1$.
$$ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{16}{1 - (-1/2)} = \frac{16}{3/2} = \frac{32}{3} \approx 10.67 $$Studi tentang deret oscilasi sangat penting dalam analisis Fourier dan pemrosesan sinyal, di mana amplitudo sinyal yang berulang berkurang secara eksponensial.
Sebagai kontras, perlu dicatat bahwa tidak semua barisan teratur adalah aritmatika atau geometri. Barisan Harmonik, yang merupakan kebalikan (resiprokal) dari barisan aritmatika, adalah contoh penting:
$$ 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, \dots $$Meskipun $U_n$ tidak mengikuti pola penjumlahan atau perkalian yang konstan, kebalikannya ($1/U_n = n$) adalah barisan aritmatika sederhana. Menariknya, meskipun suku-suku barisan harmonik menuju nol, deret harmonik (penjumlahan suku-sukunya) adalah divergen. Ini adalah salah satu hasil yang paling non-intuitif dalam matematika, menunjukkan bahwa syarat $U_n \to 0$ saja tidak cukup untuk menjamin konvergensi deret.
Seorang pekerja harus memindahkan tumpukan batu bata yang diletakkan pada jarak 20 meter dari dirinya, dengan tumpukan-tumpukan berikutnya berjarak 5 meter dari tumpukan sebelumnya. Pekerja tersebut harus mengambil satu tumpukan pada satu waktu dan membawanya kembali ke titik awal. Jika terdapat 10 tumpukan, total jarak yang ditempuh pekerja tersebut merupakan deret aritmatika, di mana setiap tumpukan melibatkan perjalanan 2 kali jaraknya dari titik awal. Jarak yang ditempuh adalah $2 \times (20) + 2 \times (25) + 2 \times (30) + \dots$ Ini adalah deret aritmatika dengan suku pertama $a=40$ dan beda $b=10$, dijumlahkan untuk $n=10$ suku.
Sebaliknya, jika kita mengamati populasi mikroba yang menggandakan diri (membelah diri menjadi dua) setiap 30 menit, ini adalah model geometri dengan rasio $r=2$. Jika populasi awal adalah 100 individu, populasi setelah $t$ periode 30 menit adalah $P(t) = 100 \cdot 2^t$. Sifat eksponensial ini menjelaskan mengapa pertumbuhan biologis dan virus dapat terjadi dengan sangat cepat.
Dalam teori musik, frekuensi nada mengikuti barisan geometri. Interval oktaf dihasilkan dari rasio 2:1. Nada $A_4$ (di tengah piano) memiliki frekuensi 440 Hz. Nada $A_5$ (satu oktaf di atas) memiliki 880 Hz. Untuk membagi oktaf menjadi 12 semitone yang sama (equal temperament), rasio $r$ yang digunakan adalah akar ke-12 dari 2, yaitu $r = 2^{1/12} \approx 1.05946$. Jika frekuensi dasar ($a$) adalah 440 Hz, frekuensi semitone ke-$n$ adalah $U_n = a \cdot r^n$. Ini adalah contoh presisi bagaimana geometri mendasari struktur harmonis musik yang kita dengar.
Kajian mendalam terhadap aritmatika dan geometri mengungkapkan lebih dari sekadar seperangkat rumus. Keduanya mewakili dua mode dasar bagaimana kuantitas berubah dan terakumulasi di alam semesta kita: Aritmatika memodelkan perubahan yang stabil, linear, dan terukur (pertambahan/pengurangan konstan), sementara Geometri memodelkan perubahan yang dinamis, eksponensial, dan berbasis penggandaan (rasio konstan).
Dari perhitungan bunga majemuk yang mendorong kapitalisme modern, analisis algoritma komputer yang mendasari teknologi digital, hingga pemahaman tentang fraktal yang mereplikasi diri di alam, prinsip-prinsip aritmatika dan geometri adalah fondasi tak terhindarkan dari penalaran kuantitatif. Kemampuan untuk menransformasi antara kedua domain ini menggunakan logaritma dan eksponen memungkinkan para ilmuwan dan insinyur untuk memecahkan masalah kompleks yang melibatkan pertumbuhan dan peluruhan, menghubungkan domain yang tampaknya berbeda menjadi sebuah kerangka matematika yang kohesif dan kuat.
Dengan menguasai penurunan rumus, sifat-sifat konvergensi, dan aplikasi praktis dari Barisan dan Deret Aritmatika serta Geometri, kita memperoleh bukan hanya kemampuan menghitung, tetapi juga wawasan filosofis tentang struktur dasar dunia fisik dan finansial di sekitar kita.
Lebih jauh lagi, eksplorasi melampaui deret sederhana—melibatkan deret campuran, deret harmonik, dan aplikasi pada teori probabilitas (misalnya, proses Markov)—membuka pintu ke ranah matematika yang lebih tinggi, di mana pola-pola linier dan eksponensial berinteraksi dalam cara yang sering kali kontraintuitif namun selalu konsisten secara logis. Ini menegaskan bahwa kedua konsep dasar ini, Aritmatika dan Geometri, adalah bahasa universal untuk memahami urutan, akumulasi, dan batas.
Kedua konsep ini, meski tampak elementer, berfungsi sebagai gerbang menuju kalkulus dan analisis. Dalam kalkulus, konsep beda ($b$) dari aritmatika bertransformasi menjadi turunan, yang mengukur laju perubahan instan. Sementara itu, rasio ($r$) dari geometri berhubungan erat dengan integral dan fungsi eksponensial, yang memodelkan akumulasi kontinu. Seluruh bangunan matematika modern berhutang besar pada pemahaman yang kokoh atas bagaimana barisan dan deret beroperasi, baik dalam domain yang terbatas maupun ketika batasnya menuju tak terhingga.