Aritmatika adalah cabang ilmu matematika yang berfokus pada operasi dasar bilangan, namun dalam konteks matematika tingkat menengah atas, fokus ini dipersempit menjadi studi tentang keteraturan dan pola bilangan, khususnya Barisan dan Deret Aritmatika. Konsep ini menjadi fondasi penting untuk memahami fenomena pertumbuhan linear di dunia nyata, mulai dari perencanaan keuangan sederhana hingga perhitungan akumulasi fisik.
Pemahaman mendalam tentang aritmatika di Kelas 11 tidak hanya melibatkan penghafalan rumus, tetapi juga kemampuan untuk menurunkan, memvalidasi, dan mengaplikasikan konsep-konsep tersebut pada masalah kontekstual yang kompleks. Artikel ini akan mengupas tuntas semua aspek tersebut, memastikan setiap pembaca dapat menguasai materi ini dengan komprehensif.
Barisan bilangan adalah urutan bilangan yang disusun berdasarkan pola atau aturan tertentu. Dalam kasus Barisan Aritmatika, pola yang dimaksud sangat spesifik: selisih antara suku yang berurutan selalu tetap. Selisih inilah yang kita sebut sebagai beda ($b$).
Sebuah barisan aritmatika dapat dilambangkan sebagai $U_1, U_2, U_3, \dots, U_n$. Di mana $U_n$ adalah suku ke-$n$ dalam barisan tersebut.
Ciri kunci yang membedakan barisan aritmatika dari jenis barisan lainnya (seperti barisan geometri) adalah nilai beda ($b$) yang konstan. Beda ini diperoleh dari pengurangan suku setelahnya dengan suku sebelumnya:
Barisan aritmatika dapat bersifat:
Untuk menemukan suku ke-$n$ dalam sebuah barisan aritmatika tanpa harus menjumlahkan beda secara manual berulang kali, kita menggunakan rumus umum. Mari kita turunkan rumus ini berdasarkan definisi dasar:
Dari pola di atas, terlihat bahwa koefisien $b$ selalu satu kurangnya dari indeks suku ($n$). Ini membawa kita pada rumus suku ke-$n$:
Keterangan variabel:
Tentukan suku ke-20 dari barisan aritmatika 5, 8, 11, 14, ...
Diketahui:
$a = 5$
$b = 8 - 5 = 3$
$n = 20$
Menggunakan rumus $U_n = a + (n-1)b$:
$U_{20} = 5 + (20-1) \cdot 3$
$U_{20} = 5 + (19) \cdot 3$
$U_{20} = 5 + 57$
$U_{20} = 62$
Jadi, suku ke-20 adalah 62.
Jika sebuah barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka pasti terdapat sebuah suku tengah ($U_t$). Suku tengah ini memiliki sifat yang sangat unik, yaitu merupakan rata-rata dari suku pertama ($a$) dan suku terakhir ($U_n$).
Jika $n$ adalah jumlah total suku, dan $n$ ganjil, maka posisi suku tengah ($t$) dapat dihitung:
Nilai suku tengah itu sendiri dihitung dengan:
Konsep suku tengah ini sangat berguna saat kita dihadapkan pada soal yang menyebutkan hubungan antara dua suku yang letaknya simetris terhadap suku tengah. Ingat, dalam barisan aritmatika, jumlah pasangan suku yang simetris selalu sama dengan dua kali suku tengah.
Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama 15 dan suku terakhir 75. Jika barisan tersebut memiliki 9 suku, tentukan suku tengahnya ($U_t$) dan posisi suku tengah tersebut.
Diketahui:
$a = 15$
$U_n = 75$ (karena total 9 suku, maka $U_9 = 75$)
Langkah 1: Menentukan posisi suku tengah ($t$):
$t = \frac{9+1}{2} = \frac{10}{2} = 5$. (Posisi suku tengah adalah suku ke-5, $U_5$).
Langkah 2: Menghitung nilai suku tengah ($U_t$):
$U_t = U_5 = \frac{a + U_n}{2}$
$U_5 = \frac{15 + 75}{2}$
$U_5 = \frac{90}{2} = 45$.
Suku tengah barisan tersebut adalah 45.
Sisipan (interpolasi) adalah proses menyisipkan sejumlah bilangan ($k$) di antara dua suku berurutan dalam barisan aritmatika. Ketika kita menyisipkan $k$ bilangan di antara suku $x$ dan $y$, kita akan membentuk barisan aritmatika baru dengan beda yang berbeda.
Misalkan kita memiliki barisan lama dengan beda $b_{\text{lama}}$. Kita menyisipkan $k$ bilangan di antara $U_i$ dan $U_{i+1}$. Maka beda barisan baru ($b_{\text{baru}}$) dihitung dengan rumus:
Atau jika $U_i$ dan $U_{i+1}$ dipandang sebagai $x$ dan $y$:
$$b_{\text{baru}} = \frac{y - x}{k+1}$$Perlu dicatat juga bahwa jumlah suku pada barisan baru ($N_{\text{baru}}$) juga berubah. Jika barisan lama memiliki $N_{\text{lama}}$ suku, dan kita melakukan $N_{\text{lama}} - 1$ sisipan (yaitu, sisipan pada setiap interval), maka:
Diketahui barisan 10, 25, 40, ... Jika di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan 4 bilangan, tentukan beda barisan aritmatika yang baru dan suku ke-15 dari barisan baru tersebut.
Barisan lama: 10, 25, 40, ...
Beda lama ($b_{\text{lama}}$) = $25 - 10 = 15$.
Jumlah sisipan ($k$) = 4.
Langkah 1: Menghitung beda baru ($b_{\text{baru}}$):
$$b_{\text{baru}} = \frac{y - x}{k+1} = \frac{25 - 10}{4+1} = \frac{15}{5} = 3$$
Beda barisan baru adalah 3. Barisan baru dimulai dengan 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Langkah 2: Menentukan $U_{15}$ barisan baru:
Barisan baru memiliki $a = 10$ dan $b_{\text{baru}} = 3$. Kita cari $U_{15}$.
$U_{15} = a + (15-1)b_{\text{baru}}$
$U_{15} = 10 + (14) \cdot 3$
$U_{15} = 10 + 42 = 52$.
Suku ke-15 barisan yang baru adalah 52.
Alt Text: Visualisasi Barisan Aritmatika. Empat batang yang tingginya meningkat secara konstan, menunjukkan beda (b) yang selalu sama antar suku.
Setelah memahami Barisan Aritmatika (urutan bilangan), kita beralih ke Deret Aritmatika. Deret Aritmatika adalah jumlah total dari suku-suku dalam sebuah barisan aritmatika. Deret dilambangkan dengan $S_n$, yaitu jumlah dari $n$ suku pertama.
Jika barisan aritmatika adalah $U_1, U_2, U_3, \dots, U_n$, maka deret aritmatikanya adalah:
Penemuan rumus $S_n$ sering dikaitkan dengan kisah matematikawan muda Carl Friedrich Gauss, yang konon menyelesaikan penjumlahan 1 hingga 100 dengan cepat. Metode yang ia gunakan adalah metode pasangan simetris, yang merupakan dasar dari rumus $S_n$ untuk deret aritmatika.
Kita tulis $S_n$ dalam dua cara:
Cara 1 (Urut Normal):
$$S_n = a + (a+b) + (a+2b) + \dots + (U_n - b) + U_n \quad \text{(Persamaan 1)}$$Cara 2 (Urut Terbalik):
$$S_n = U_n + (U_n - b) + (U_n - 2b) + \dots + (a+b) + a \quad \text{(Persamaan 2)}$$Sekarang, kita jumlahkan kedua persamaan (1) dan (2) suku demi suku. Perhatikan bahwa semua beda ($b$) akan saling menghilangkan, menyisakan $a + U_n$ sebanyak $n$ kali:
$$(S_n + S_n) = (a + U_n) + ((a+b) + (U_n - b)) + \dots + (U_n + a)$$ $$2 S_n = (a + U_n) + (a + U_n) + \dots + (a + U_n) \quad (\text{sebanyak } n \text{ suku})$$ $$2 S_n = n (a + U_n)$$Maka, rumus pertama untuk $S_n$ adalah:
Rumus Kedua (Menggunakan $a$ dan $b$):
Karena kita tahu $U_n = a + (n-1)b$, kita dapat substitusikan $U_n$ ke dalam rumus pertama:
$$S_n = \frac{n}{2} (a + [a + (n-1)b])$$ $$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)$$Penggunaan rumus mana yang lebih efisien tergantung pada informasi yang tersedia di soal. Jika $U_n$ (suku terakhir) diketahui, gunakan rumus pertama. Jika hanya $a$ dan $b$ yang diketahui, gunakan rumus kedua.
Suku ke-$n$ dari sebuah barisan aritmatika dapat ditentukan dari selisih jumlah $n$ suku pertama ($S_n$) dengan jumlah $n-1$ suku pertama ($S_{n-1}$). Secara logis, jika kita menjumlahkan 5 suku ($S_5$) dan kemudian mengurangi jumlah 4 suku pertama ($S_4$), hasilnya pasti adalah suku kelima ($U_5$).
Hubungan ini sangat penting ketika fungsi $S_n$ diberikan dalam bentuk persamaan kuadrat terhadap $n$, dan kita diminta untuk mencari rumus suku ke-$n$ ($U_n$) atau beda ($b$).
Jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika dinyatakan dengan rumus $S_n = 2n^2 + 5n$. Tentukan rumus suku ke-$n$ ($U_n$) dan beda ($b$) deret tersebut.
Langkah 1: Tentukan $S_{n-1}$.
Substitusi $(n-1)$ ke dalam rumus $S_n$:
$S_{n-1} = 2(n-1)^2 + 5(n-1)$
$S_{n-1} = 2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5$
$S_{n-1} = 2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5$
$S_{n-1} = 2n^2 + n - 3$
Langkah 2: Gunakan hubungan $U_n = S_n - S_{n-1}$.
$U_n = (2n^2 + 5n) - (2n^2 + n - 3)$
$U_n = 2n^2 + 5n - 2n^2 - n + 3$
$U_n = 4n + 3$
Langkah 3: Tentukan beda ($b$).
Beda adalah koefisien dari $n$ dalam rumus $U_n$ (atau dua kali koefisien $n^2$ dalam $S_n$).
Jika $U_n = 4n + 3$, maka:
$U_1 = 4(1) + 3 = 7$
$U_2 = 4(2) + 3 = 11$
$b = U_2 - U_1 = 11 - 7 = 4$.
Rumus suku ke-$n$ adalah $U_n = 4n + 3$ dan bedanya adalah 4.
Setelah menguasai rumus dasar, penting untuk melihat bagaimana konsep barisan dan deret aritmatika digunakan dalam pemecahan masalah yang lebih kompleks, terutama yang melibatkan sistem persamaan linear dan masalah kontekstual yang sering muncul dalam ujian.
Seringkali, soal aritmatika tidak memberikan suku pertama ($a$) atau beda ($b$) secara langsung, melainkan memberikan nilai dua suku yang berbeda, misalnya $U_5$ dan $U_{12}$. Untuk menyelesaikannya, kita harus menggunakan sistem persamaan linear dua variabel.
Pada suatu barisan aritmatika, suku ke-5 adalah 37 dan suku ke-10 adalah 72. Tentukan beda ($b$), suku pertama ($a$), dan suku ke-25 ($U_{25}$) barisan tersebut.
Diketahui:
$U_5 = 37 \Rightarrow a + 4b = 37 \quad \text{(Persamaan I)}$
$U_{10} = 72 \Rightarrow a + 9b = 72 \quad \text{(Persamaan II)}$
Langkah 1: Eliminasi $a$ untuk mencari $b$.
(Persamaan II) - (Persamaan I):
$$(a + 9b) - (a + 4b) = 72 - 37$$
$$5b = 35$$
$$b = 7$$
Beda ($b$) barisan tersebut adalah 7. Ini adalah konsep kritis: selisih nilai suku dibagi selisih indeks sukunya selalu menghasilkan beda.
$$b = \frac{U_{10} - U_5}{10 - 5} = \frac{72 - 37}{5} = \frac{35}{5} = 7$$Suku pertama ($a$) barisan tersebut adalah 9.
Suku ke-25 adalah 177.
Proses ini menunjukkan betapa fundamentalnya pemahaman bahwa setiap suku aritmatika hanyalah fungsi linear dari indeks $n$, sehingga sistem dua persamaan linear selalu dapat digunakan untuk memecahkan dua variabel utama ($a$ dan $b$).
Aritmatika sangat sering muncul dalam konteks pertumbuhan linier, seperti gaji yang naik tetap setiap tahun, tumpukan benda, atau perhitungan produksi yang stabil peningkatannya.
Seorang karyawan menerima kenaikan gaji tetap sebesar Rp 50.000,00 setiap bulan. Jika gaji pada bulan pertama ia bekerja adalah Rp 3.000.000,00, hitunglah total pendapatan yang diterima karyawan tersebut selama 1,5 tahun pertama (18 bulan).
Masalah ini menanyakan total pendapatan, yang berarti kita harus mencari Deret Aritmatika ($S_n$).
Diketahui:
Suku pertama ($a$) = 3.000.000
Beda ($b$) = 50.000
Jumlah suku ($n$) = 1,5 tahun = 18 bulan.
Kita gunakan rumus $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b]$, karena $U_n$ tidak diketahui.
$S_{18} = \frac{18}{2} [2(3.000.000) + (18-1)(50.000)] $
$S_{18} = 9 [6.000.000 + (17)(50.000)] $
$S_{18} = 9 [6.000.000 + 850.000] $
$S_{18} = 9 [6.850.000] $
$S_{18} = 61.650.000$
Total pendapatan yang diterima karyawan selama 1,5 tahun pertama adalah Rp 61.650.000,00. Analisis ini menunjukkan bahwa deret aritmatika berfungsi sebagai model akumulasi linier yang efektif dalam ekonomi dasar.
Dalam sebuah deret aritmatika, suku pertama adalah 10 dan bedanya adalah 4. Berapa banyak suku yang harus dijumlahkan agar menghasilkan total 390? (Cari $n$)
Diketahui:
$a = 10$
$b = 4$
$S_n = 390$
Gunakan rumus $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b]$ dan selesaikan sebagai persamaan kuadrat terhadap $n$.
$$390 = \frac{n}{2} [2(10) + (n-1)4]$$
$$390 = \frac{n}{2} [20 + 4n - 4]$$
$$390 = \frac{n}{2} [16 + 4n]$$
Kalikan kedua ruas dengan 2:
$$780 = n (16 + 4n)$$
$$780 = 16n + 4n^2$$
Susun ulang menjadi persamaan kuadrat $4n^2 + 16n - 780 = 0$.
Bagi dengan 4 untuk menyederhanakan:
$$n^2 + 4n - 195 = 0$$
Faktorkan persamaan kuadrat ini. Kita mencari dua bilangan yang dikalikan menghasilkan -195 dan dijumlahkan menghasilkan 4. (15 dan -13).
$$(n + 15)(n - 13) = 0$$
Diperoleh dua solusi untuk $n$:
$n_1 = -15$ (Tidak mungkin, karena jumlah suku harus positif)
$n_2 = 13$ (Solusi yang valid)
Diperlukan 13 suku untuk mencapai jumlah total 390. Proses ini menegaskan bahwa dalam konteks deret, seringkali kita harus menyelesaikan persamaan kuadrat untuk menemukan indeks.
Saat kita melihat rumus jumlah $n$ suku pertama ($S_n$), $S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)$, jika kita jabarkan, akan selalu menghasilkan bentuk kuadrat terhadap $n$:
$$S_n = \frac{n}{2} (2a + bn - b)$$ $$S_n = \frac{2an}{2} + \frac{bn^2}{2} - \frac{bn}{2}$$ $$S_n = \left(\frac{b}{2}\right)n^2 + \left(a - \frac{b}{2}\right)n$$Ini menghasilkan bentuk umum $S_n = An^2 + Bn$, di mana:
Dari hubungan ini, kita bisa mendapatkan beda ($b$) secara langsung dari koefisien kuadrat $A$:
Dan suku pertama ($a$) adalah jumlah $S_1$:
Pemahaman ini memungkinkan kita menyelesaikan soal seperti Contoh 2.2.1 dengan jauh lebih cepat, hanya dengan menganalisis koefisien dari fungsi $S_n$ tanpa harus melalui proses $S_n - S_{n-1}$ yang panjang.
Meskipun fokus utama Kelas 11 adalah barisan aritmatika (tingkat satu), seringkali muncul pola bilangan di mana beda dari beda suku (selisih kedua) yang konstan. Ini disebut Barisan Aritmatika Tingkat Dua. Barisan ini diwakili oleh fungsi kuadrat $U_n = An^2 + Bn + C$.
Jika kita memiliki barisan $U_1, U_2, U_3, U_4, \dots$
Hubungan koefisien dengan selisih barisan adalah:
Meskipun ini bukan aritmatika murni (karena $U_n$ adalah kuadratik), pemecahannya masih mengandalkan prinsip selisih yang konsisten, memperluas cakupan pemahaman pola bilangan di kelas 11. Teknik penyelesaiannya melibatkan substitusi dan eliminasi koefisien A, B, dan C berdasarkan tiga persamaan ini.
Untuk memastikan penguasaan materi, kita akan meninjau beberapa kasus lanjutan yang memerlukan kombinasi rumus, serta meninjau ulang derivasi penting.
Dalam banyak soal sulit, informasi yang diberikan melibatkan $S_n$ dan $U_n$ secara bersamaan, memaksa kita untuk bergerak antara barisan dan deret.
Diketahui suku ke-5 ($U_5$) dari suatu barisan aritmatika adalah 28. Jumlah 10 suku pertama ($S_{10}$) adalah 280. Tentukan suku ke-15 ($U_{15}$).
Diketahui:
(I) $U_5 = 28 \Rightarrow a + 4b = 28$
(II) $S_{10} = 280 \Rightarrow \frac{10}{2} [2a + (10-1)b] = 280$
Langkah 1: Sederhanakan Persamaan II (dari $S_{10}$):
$$5 [2a + 9b] = 280$$
$$2a + 9b = \frac{280}{5}$$
$$2a + 9b = 56 \quad \text{(Persamaan II Sederhana)}$$
Langkah 2: Gunakan eliminasi/substitusi antara (I) dan (II Sederhana).
Kalikan Persamaan I dengan 2:
$$2(a + 4b) = 2(28) \Rightarrow 2a + 8b = 56 \quad \text{(Persamaan I Baru)}$$
Kurangkan Persamaan II Sederhana dengan Persamaan I Baru:
$$(2a + 9b) - (2a + 8b) = 56 - 56$$
$$b = 0$$
Langkah 3: Cari $a$. Substitusi $b=0$ ke Persamaan I:
$$a + 4(0) = 28$$
$$a = 28$$
Karena $b=0$, ini adalah barisan konstan: 28, 28, 28, ...
Suku ke-15 adalah 28. Kasus ini menunjukkan bahwa jika $S_n = n \cdot U_k$ (dengan $k$ adalah rata-rata suku), maka beda $b$ cenderung nol atau sangat kecil.
Banyak masalah visual, seperti menumpuk kayu, kaleng, atau kursi, secara inheren mengikuti pola deret aritmatika.
Pipa-pipa ditumpuk di gudang sedemikian rupa sehingga tumpukan paling bawah terdiri dari 50 pipa, dan setiap tumpukan di atasnya berkurang 2 pipa dari tumpukan di bawahnya. Jika tumpukan paling atas hanya terdiri dari 4 pipa, berapa banyak total pipa yang ada di gudang tersebut?
Ini adalah deret aritmatika di mana:
Suku pertama ($a$) = 50
Beda ($b$) = -2 (pengurangan)
Suku terakhir ($U_n$) = 4
Kita perlu mencari $n$ (jumlah tumpukan) terlebih dahulu, lalu mencari $S_n$.
Langkah 1: Cari $n$ menggunakan $U_n = a + (n-1)b$.
$$4 = 50 + (n-1)(-2)$$
$$4 - 50 = -2(n-1)$$
$$-46 = -2n + 2$$
$$-48 = -2n$$
$$n = 24$$
Ada 24 tumpukan pipa.
Total pipa di gudang adalah 648 buah. Pemecahan masalah ini secara jelas mendemonstrasikan bagaimana $U_n$ dan $S_n$ sering digunakan secara berurutan dalam aplikasi praktis.
Kekuatan aritmatika terletak pada sifat linearitasnya. Kita dapat membuktikan bahwa beda antara suku ke-$(k+m)$ dan suku ke-$k$ selalu dapat diwakilkan oleh $m \cdot b$.
Ambil $U_{k+m}$ dan $U_k$.
$$U_{k+m} = a + ((k+m)-1)b$$ $$U_k = a + (k-1)b$$Selisihnya adalah:
$$U_{k+m} - U_k = [a + (k+m)b - b] - [a + kb - b]$$ $$U_{k+m} - U_k = a + kb + mb - b - a - kb + b$$ $$U_{k+m} - U_k = mb$$Jika kita membagi selisih nilai suku dengan selisih indeksnya, kita selalu mendapatkan $b$:
$$\frac{U_{k+m} - U_k}{(k+m) - k} = \frac{mb}{m} = b$$Bukti matematis ini menegaskan kembali konsep bahwa beda ($b$) adalah laju perubahan konstan pada barisan aritmatika, mirip dengan gradien dalam fungsi linear $y = mx + c$, di mana $U_n$ analog dengan $y$, $n$ analog dengan $x$, dan $b$ analog dengan $m$.
Mari kita analisis lebih lanjut mengenai bagaimana jumlah suku total berubah setelah sisipan. Misalkan kita memiliki 5 suku awal: $U_1, U_2, U_3, U_4, U_5$ (Total 5 suku, 4 interval).
Jika kita menyisipkan $k=3$ bilangan di setiap interval, maka:
Jumlah interval adalah $N_{\text{lama}} - 1 = 5 - 1 = 4$.
Jumlah total suku yang ditambahkan adalah (Jumlah interval) $\times k = 4 \times 3 = 12$ suku.
Jumlah suku baru ($N_{\text{baru}}$) = $N_{\text{lama}} + (\text{Suku yang ditambahkan})$
$$N_{\text{baru}} = 5 + 12 = 17$$Menggunakan rumus umum yang telah diturunkan:
$$N_{\text{baru}} = N_{\text{lama}} + (N_{\text{lama}} - 1)k$$ $$N_{\text{baru}} = 5 + (5 - 1)3$$ $$N_{\text{baru}} = 5 + (4)3 = 5 + 12 = 17$$Penting untuk diingat bahwa sisipan hanya terjadi di antara suku-suku, bukan di ujung barisan. Kesalahan umum adalah menghitung jumlah interval yang salah.
Deret aritmatika awal terdiri dari 8 suku dengan suku pertama 4 dan beda 6. Di antara setiap dua suku berurutan disisipkan 1 bilangan. Tentukan jumlah deret yang baru ($S_{baru}$).
Deret lama: $N_{\text{lama}}=8, a=4, b_{\text{lama}}=6$. $k=1$.
Langkah 1: Tentukan beda baru ($b_{\text{baru}}$).
$$b_{\text{baru}} = \frac{b_{\text{lama}}}{k+1} = \frac{6}{1+1} = 3$$
Langkah 2: Tentukan jumlah suku baru ($N_{\text{baru}}$).
$$N_{\text{baru}} = N_{\text{lama}} + (N_{\text{lama}} - 1)k$$
$$N_{\text{baru}} = 8 + (8 - 1)1 = 8 + 7 = 15$$
Barisan baru memiliki 15 suku, suku pertama $a=4$, dan beda $b_{\text{baru}}=3$.
Jumlah deret yang baru adalah 375. Keakuratan dalam menghitung $N_{\text{baru}}$ dan $b_{\text{baru}}$ adalah kunci dalam jenis masalah sisipan ini.
Kadang kala, kita diminta menentukan suatu nilai variabel $x$ agar tiga suku yang diberikan membentuk barisan aritmatika. Ingatlah prinsip beda konstan: $U_2 - U_1 = U_3 - U_2$.
Tiga bilangan $x+2$, $2x-1$, dan $4x-3$ adalah tiga suku berurutan dari sebuah barisan aritmatika. Tentukan nilai $x$ dan ketiga suku tersebut.
Misalkan:
$U_1 = x+2$
$U_2 = 2x-1$
$U_3 = 4x-3$
Karena bedanya konstan, maka $U_2 - U_1 = U_3 - U_2$.
$$(2x-1) - (x+2) = (4x-3) - (2x-1)$$
Sederhanakan sisi kiri (beda $b$):
$$2x - 1 - x - 2 = x - 3$$
Sederhanakan sisi kanan (juga harus sama dengan $b$):
$$4x - 3 - 2x + 1 = 2x - 2$$
Samakan kedua sisi:
$$x - 3 = 2x - 2$$
$$-3 + 2 = 2x - x$$
$$-1 = x$$
Nilai $x$ haruslah -1.
Barisan tersebut adalah 1, -3, -7, ... dengan beda $b = -4$.
Penguasaan aritmatika di kelas 11 sangat bergantung pada kemampuan memetakan masalah ke dalam rumus yang tepat. Berikut adalah ringkasan prosedur berpikir yang harus diterapkan saat menghadapi soal aritmatika:
Aritmatika, meskipun sederhana secara konsep, menawarkan fleksibilitas yang luas dalam pemecahan masalah. Ketelitian dalam manipulasi aljabar, terutama saat menyelesaikan persamaan kuadrat untuk menemukan $n$ atau sistem persamaan linear untuk menemukan $a$ dan $b$, adalah kunci kesuksesan dalam menguasai materi matematika kelas 11 ini. Latihan yang terus menerus dengan variasi soal yang berbeda akan memperkuat intuisi Anda terhadap pola linier, menjadikannya modal berharga untuk studi matematika tingkat lanjut.