Deretan geometri, seringkali disebut juga barisan geometri, merupakan salah satu konsep fundamental dalam matematika yang menggambarkan pola pertumbuhan atau peluruhan eksponensial. Berbeda dari deretan aritmetika yang melibatkan penambahan atau pengurangan konstanta, deretan geometri didefinisikan melalui perkalian berulang dengan suatu konstanta yang dikenal sebagai rasio. Pemahaman mendalam mengenai prinsip-prinsip deretan geometri sangat krusial, tidak hanya dalam kalkulus murni, tetapi juga dalam pemodelan fenomena alam, finansial, dan teknologi.
Deretan geometri adalah urutan bilangan di mana setiap suku (kecuali suku pertama) diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan suku tersebut dengan bilangan tetap yang tidak nol, disebut rasio (r).
Untuk memahami seluruh cakupan deretan geometri, kita perlu menetapkan notasi dan formula dasar yang mengatur setiap elemennya.
Inti dari deretan geometri terletak pada rasionya. Rasio ini menentukan bagaimana deretan tersebut akan berevolusi, apakah ia tumbuh secara dramatis (divergen), menyusut (konvergen), atau bergantian tanda. Rasio, dinotasikan dengan r, dapat ditemukan dengan membagi suku mana pun dengan suku yang mendahuluinya:
Jika |r| > 1, deretan tersebut mengalami pertumbuhan eksponensial (divergen). Jika 0 < |r| < 1, deretan tersebut mengalami peluruhan atau penyusutan (konvergen). Jika r < 0, deretan tersebut akan berganti tanda antara positif dan negatif (osilasi).
Suku ke-n dari deretan geometri dapat ditentukan jika suku pertama ($U_1$) dan rasio (r) diketahui. Misalkan $U_1 = a$.
Dari pola ini, kita dapat menyimpulkan rumus umum untuk suku ke-n:
Rumus ini menunjukkan hubungan eksponensial antara suku (n) dan nilai suku ($U_n$). Pangkat $n-1$ mencerminkan fakta bahwa kita hanya perlu melakukan perkalian rasio sebanyak $n-1$ kali dari suku pertama.
Ketika kita menjumlahkan suku-suku dari suatu barisan geometri, hasilnya disebut deret geometri. Jumlah n suku pertama, dinotasikan $S_n$, memiliki peran yang sangat besar dalam perhitungan akumulasi, seperti bunga majemuk atau total jarak tempuh.
Penurunan rumus jumlah suku pada deret geometri merupakan salah satu demonstrasi elegan dari manipulasi aljabar. Misalkan kita memiliki deret $S_n$:
$$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} \quad (1)$$
Kemudian, kita kalikan persamaan (1) dengan rasio $r$:
$$rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \dots + ar^{n} \quad (2)$$
Langkah selanjutnya adalah mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1). Hampir semua suku tengah akan saling meniadakan (teknik teleskopik):
$$S_n - rS_n = (a + ar + \dots + ar^{n-1}) - (ar + ar^2 + \dots + ar^{n})$$
$$S_n - rS_n = a - ar^{n}$$
Faktorkan $S_n$ di ruas kiri dan $a$ di ruas kanan:
$$S_n (1 - r) = a (1 - r^{n})$$
Maka, rumus jumlah $n$ suku pertama adalah:
Rumus alternatif sering digunakan ketika $r > 1$ untuk menghindari hasil negatif di penyebut, meskipun secara matematis hasilnya sama:
Jika rasio $r=1$, setiap suku dalam deret adalah sama dengan suku pertama ($a, a, a, a, \dots$). Dalam kasus ini, deret tersebut menjadi deret aritmetika dengan beda nol. Rumus $S_n$ tidak berlaku (karena pembagian dengan nol), tetapi penjumlahannya sederhana:
Salah satu aspek paling menarik dari deretan geometri adalah kemampuannya untuk memiliki jumlah yang terbatas meskipun jumlah sukunya tak terbatas. Fenomena ini hanya terjadi di bawah kondisi konvergensi tertentu.
Sebuah deret geometri tak hingga akan konvergen (memiliki jumlah yang terbatas) jika dan hanya jika nilai mutlak rasionya kurang dari satu.
Jika $r \ge 1$ atau $r \le -1$, deret tersebut dikatakan divergen, artinya jumlahnya akan cenderung menuju tak hingga atau tidak terbatas, sehingga tidak memiliki nilai jumlah yang tetap.
Kita kembali ke rumus jumlah hingga $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$. Jika $|r| < 1$, maka ketika $n$ mendekati tak hingga ($\lim_{n\to\infty}$), suku $r^n$ akan mendekati nol. Sebagai contoh, jika $r = 0.5$, maka $(0.5)^n$ akan sangat kecil ketika $n$ besar.
Maka, kita dapat menghitung limit dari $S_n$:
$$S_{\infty} = \lim_{n\to\infty} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(1 - 0)}{1 - r}$$
Rumus ini memungkinkan kita menyelesaikan berbagai masalah teoretis dan praktis, termasuk paradoks Zeno, gerakan bola memantul, dan representasi desimal berulang.
Deretan geometri memiliki beberapa sifat unik yang membedakannya dari deretan aritmetika dan memberikan wawasan penting tentang bagaimana pola multiplikatif bekerja.
Dalam deretan geometri, suku tengah antara dua suku lainnya adalah rata-rata geometri dari kedua suku tersebut. Jika $U_{n-1}$, $U_n$, dan $U_{n+1}$ adalah tiga suku berurutan, maka:
$$U_n = \sqrt{U_{n-1} \cdot U_{n+1}}$$
Bukti: Kita tahu $U_{n} = U_{n-1} \cdot r$ dan $U_{n+1} = U_n \cdot r$. Dengan mengalikan $U_{n-1}$ dan $U_{n+1}$:
$$U_{n-1} \cdot U_{n+1} = U_{n-1} \cdot (U_n \cdot r)$$ $$U_{n-1} \cdot U_{n+1} = U_{n-1} \cdot ((U_{n-1} \cdot r) \cdot r)$$ $$U_{n-1} \cdot U_{n+1} = (U_{n-1} \cdot r)^2 = (U_n)^2$$
Sehingga, $U_n$ adalah akar kuadrat dari perkalian tetangganya. Sifat ini sangat berguna untuk menyisipkan (interpolasi) suku-suku yang hilang dalam deretan.
Ada hubungan yang erat antara deretan geometri dan deretan aritmetika melalui fungsi logaritma. Jika kita mengambil logaritma dari setiap suku dalam deretan geometri ($U_1, U_2, U_3, \dots$), hasilnya akan menjadi deretan aritmetika.
Misalkan deretan geometri: $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$
Ambil logaritma natural (ln) pada setiap suku:
Deretan baru, $\ln(U_n)$, adalah deretan aritmetika dengan suku pertama $\ln(a)$ dan beda konstan $d = \ln(r)$. Hubungan ini menunjukkan bagaimana pertumbuhan eksponensial (geometri) pada dasarnya adalah pertumbuhan linear (aritmetika) dalam skala logaritmik, sebuah konsep fundamental dalam ilmu data dan fisika.
Kemampuan untuk menyelesaikan masalah deretan geometri sering kali bergantung pada identifikasi yang tepat terhadap tiga variabel kunci: $a$ (suku pertama), $r$ (rasio), dan $n$ (banyaknya suku). Berikut adalah beberapa skenario pemecahan masalah yang sering muncul.
Jika diketahui suku $U_m$ dan suku $U_k$ (dengan $m > k$), kita dapat mencari rasio $r$ dengan membagi rumus suku ke-m dengan rumus suku ke-k:
$$\frac{U_m}{U_k} = \frac{a \cdot r^{m-1}}{a \cdot r^{k-1}}$$ $$\frac{U_m}{U_k} = r^{m-k}$$ $$r = \sqrt[m-k]{\frac{U_m}{U_k}}$$
Setelah $r$ ditemukan, nilai tersebut disubstitusikan kembali ke salah satu rumus suku ($U_k = a \cdot r^{k-1}$) untuk menemukan $a$. Pendekatan ini adalah tulang punggung dalam memecahkan soal deretan geometri tingkat lanjut.
Dalam beberapa soal, informasi yang diberikan bukanlah jumlah suku, melainkan hasil perkalian $n$ suku pertama ($P_n$).
$$P_n = U_1 \cdot U_2 \cdot U_3 \cdot \dots \cdot U_n$$
$$P_n = a \cdot (ar) \cdot (ar^2) \cdot \dots \cdot (ar^{n-1})$$
Mengumpulkan basis $a$ dan basis $r$:
$$P_n = a^n \cdot r^{(0 + 1 + 2 + \dots + n-1)}$$
Pangkat $r$ adalah jumlah deretan aritmetika dari 0 sampai $n-1$, yaitu $\frac{n(n-1)}{2}$.
Rumus ini menunjukkan bahwa jika deret memiliki jumlah suku ganjil, suku tengah ($U_{tengah}$) memiliki hubungan khusus dengan $P_n$. Karena $U_{tengah}^n = (a \cdot r^{\frac{n-1}{2}})^n = a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}} = P_n$. Oleh karena itu, hasil kali $n$ suku adalah suku tengah dipangkatkan $n$, asalkan $n$ ganjil.
Kehadiran deretan geometri tidak terbatas pada buku teks matematika; ia meresap ke dalam berbagai disiplin ilmu, memodelkan proses yang melibatkan pelipatgandaan atau pengurangan proporsional.
Aplikasi paling umum dari deretan geometri adalah perhitungan bunga majemuk. Ketika bunga dihitung berdasarkan pokok ditambah akumulasi bunga dari periode sebelumnya, ia menciptakan pertumbuhan eksponensial. Jika modal awal (pokok) adalah $P$ dan suku bunga periodik adalah $i$, maka nilai modal pada akhir periode $n$ membentuk deretan geometri:
Di sini, rasio $r = (1+i)$. Selain itu, deret geometri digunakan untuk menghitung anuitas (serangkaian pembayaran tetap) dan nilai masa depan dari investasi berulang, yang melibatkan penjumlahan deret hingga ($S_n$).
Dalam fisika, peluruhan radioaktif mengikuti pola deretan geometri di mana jumlah zat yang tersisa setelah setiap periode paruh waktu (half-life) berkurang dengan rasio $r = 0.5$.
Aplikasi lain yang klasik adalah masalah bola memantul. Misalkan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $H$ dan memantul kembali dengan fraksi $r$ dari ketinggian sebelumnya (misalnya, $r=0.8$).
Total jarak yang ditempuh bola hingga berhenti adalah jumlah deret tak hingga, yang terdiri dari dua bagian: jarak jatuh dan jarak pantul.
Jarak Jatuh: $H + H \cdot r + H \cdot r^2 + \dots$
Jarak Pantul: $H \cdot r + H \cdot r^2 + H \cdot r^3 + \dots$ (Setiap pantulan terjadi dua kali, naik dan turun)
Total Jarak = $H + 2 \cdot S_{\infty, pantul}$
Karena $|r| < 1$, total jaraknya selalu terbatas, dapat dihitung menggunakan rumus $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$.
Di bawah kondisi ideal, pertumbuhan populasi bakteri atau sel sering dimodelkan sebagai deretan geometri. Jika setiap sel membelah menjadi dua setiap interval waktu, rasio pertumbuhannya adalah $r=2$. Jumlah sel pada generasi ke-n akan menjadi $N = N_0 \cdot 2^{n-1}$, yang merupakan deretan geometri divergen yang cepat.
Dalam analisis kompleksitas algoritma (seperti algoritma Divide and Conquer), waktu eksekusi sering dimodelkan menggunakan deretan geometri, terutama ketika setiap langkah rekursi membagi masalah menjadi sub-masalah yang ukurannya berkurang secara proporsional. Misalnya, menganalisis kedalaman pohon biner atau efisiensi pemanfaatan memori.
Konsep deretan geometri dapat diperluas untuk mencakup skenario yang sedikit lebih kompleks atau yang melibatkan operasi aljabar tambahan.
Deret tak hingga memberikan alat yang sangat kuat untuk mengubah bilangan desimal berulang menjadi bentuk pecahan yang rasional. Misalnya, bilangan $0.3333\dots$ dapat dipecah menjadi deret konvergen:
$$0.333\dots = 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + \dots$$
Deret ini adalah deret geometri dengan:
Karena $|r| = 0.1 < 1$, deret ini konvergen. Menggunakan rumus $S_{\infty}$:
$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{3/10}{1 - 1/10} = \frac{3/10}{9/10} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$
Teknik ini dapat diperluas ke semua desimal berulang yang lebih kompleks, membuktikan bahwa setiap bilangan desimal berulang adalah bilangan rasional.
Interpolasi dalam deretan geometri adalah proses memasukkan sejumlah suku baru (k suku) di antara dua suku yang diketahui ($U_m$ dan $U_{m+1}$) sehingga keseluruhan deretan tetap menjadi deretan geometri.
Jika kita ingin menyisipkan $k$ suku antara $U_m$ dan $U_{m+1}$, maka total akan ada $k+2$ suku dalam segmen baru ini. Rasio baru ($r'$) harus ditemukan. Jarak antar pangkat adalah $k+1$.
$$U_{m+1} = U_m \cdot (r')^{k+1}$$
Maka, rasio baru $r'$ adalah akar ke-$(k+1)$ dari perbandingan suku-suku tersebut.
$$r' = \sqrt[k+1]{\frac{U_{m+1}}{U_m}}$$
Konsep ini penting dalam desain sistem akustik dan tangga nada musik, di mana frekuensi nada harus meningkat dengan rasio yang konstan untuk menghasilkan tangga nada yang harmonis (temperamen sama).
Pemisahan yang jelas antara deret konvergen dan divergen adalah aspek matematis yang sangat penting. Perbedaan ini menentukan apakah suatu proses akumulasi akan mencapai batas yang terdefinisi ataukah akan terus tumbuh tanpa batas.
Deret geometri dikatakan divergen dalam tiga kasus utama:
Sebagai contoh, deret $1, -2, 4, -8, 16, \dots$ ($r=-2$) akan memiliki jumlah yang berosilasi semakin liar. Jumlah parsialnya adalah $1, -1, 3, -5, 11, \dots$ yang tidak stabil.
Aspek konvergensi $(|r| < 1)$ dapat dibuktikan dengan prinsip limit. Ketika kita menganalisis nilai $r^n$ saat $n \to \infty$. Jika $r$ adalah pecahan, katakan $r = 1/k$ di mana $k > 1$, maka $r^n = 1/k^n$. Seiring bertambahnya $n$, penyebut $k^n$ tumbuh sangat cepat, memaksa keseluruhan fraksi $1/k^n$ menuju nol.
Sebaliknya, jika $r$ adalah bilangan yang lebih besar dari 1, katakan $r=2$. Maka $r^n = 2^n$ akan tumbuh tanpa batas. Ini secara intuitif membenarkan mengapa deret hanya memiliki jumlah terbatas jika rasio multiplikatifnya menyebabkan setiap suku menjadi semakin kecil dengan cepat, mendekati nol.
Untuk menguatkan pemahaman, berikut disajikan elaborasi kasus-kasus analitis yang melibatkan berbagai aspek deretan geometri.
Misalkan kita memiliki deret geometri tak hingga yang jumlahnya adalah 12 ($S_{\infty} = 12$) dan suku pertamanya adalah 4 ($a=4$). Tentukan rasionya $r$ dan suku ketiga $U_3$.
Kita gunakan rumus $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$.
$$12 = \frac{4}{1 - r}$$
Kita selesaikan untuk $r$:
$$12 (1 - r) = 4$$ $$12 - 12r = 4$$ $$12r = 12 - 4$$ $$12r = 8$$ $$r = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$
Karena $|2/3| < 1$, deret ini konvergen, yang konsisten dengan jumlah terbatas yang diberikan. Selanjutnya, kita hitung suku ketiga ($U_3$):
$$U_3 = a \cdot r^{3-1} = a \cdot r^2$$ $$U_3 = 4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 4 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{9}$$
Diberikan tiga bilangan $x, y, z$. Jika $x, y, z$ membentuk deretan aritmetika dan $x, (y+1), (z+3)$ membentuk deretan geometri, tentukan nilai $y$ jika diketahui $x=2$.
Karena $x, y, z$ adalah DA, bedanya harus sama. Jika $x=2$, maka:
$$y - 2 = z - y$$ $$2y - 2 = z \quad (i)$$
Barisan geometrinya adalah $2, (y+1), (z+3)$. Rasio konstan harus dipenuhi:
$$\frac{y+1}{2} = \frac{z+3}{y+1}$$ $$(y+1)^2 = 2(z+3) \quad (ii)$$
Substitusikan persamaan $(i)$ ke persamaan $(ii)$:
$$(y+1)^2 = 2((2y - 2) + 3)$$ $$(y^2 + 2y + 1) = 2(2y + 1)$$ $$y^2 + 2y + 1 = 4y + 2$$ $$y^2 - 2y - 1 = 0$$
Gunakan rumus kuadrat untuk mencari $y$ (karena tidak dapat difaktorkan):
$$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$$ $$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$$ $$y = 1 \pm \sqrt{2}$$
Solusi ini menunjukkan bahwa nilai suku tengah dapat berupa $1 + \sqrt{2}$ atau $1 - \sqrt{2}$, menegaskan interkoneksi kompleks antara dua jenis deretan fundamental ini.
Deretan geometri adalah alat utama untuk menganalisis dimensi dan ukuran fraktal. Pertimbangkan Kurva Koch, di mana setiap segmen garis dibagi menjadi tiga bagian dan bagian tengah diganti dengan dua segmen baru, meningkatkan panjang total dengan rasio $r = 4/3$ pada setiap iterasi.
Jika panjang awal adalah $L_0$.
Panjang total Kurva Koch setelah $n$ iterasi adalah deretan geometri $L_n = L_0 \cdot (4/3)^n$. Karena $r = 4/3 > 1$, panjang kurva tersebut akan divergen (menuju tak hingga) seiring $n \to \infty$, meskipun kurva tersebut terkandung dalam area yang terbatas.
Deretan geometri mewakili salah satu model matematis paling kuat untuk menggambarkan pertumbuhan atau peluruhan multiplikatif yang konsisten. Dengan mengandalkan rasio konstan, kita dapat memprediksi nilai suku ke-n dan menghitung total akumulasi hingga n suku. Lebih lanjut, konsep deret tak hingga membuka pintu untuk memahami proses yang batasnya terbatas, meskipun melibatkan jumlah langkah yang tak terhingga, seperti konversi desimal berulang menjadi pecahan rasional atau perhitungan total jarak pada osilasi yang meredam.
Signifikansi deretan geometri meluas jauh melampaui perhitungan diskrit sederhana; ia menjadi bahasa esensial yang digunakan dalam permodelan eksponensial dalam ekologi, komputasi, fisika kuantum, dan terutama, dalam dunia finansial. Penguasaan rumus $U_n$, $S_n$, dan $S_{\infty}$ adalah keterampilan matematis yang mendasar dan universal, memungkinkan analisis mendalam terhadap sistem yang berevolusi secara proporsional dari waktu ke waktu.
Kajian mendalam ini menegaskan bahwa deretan geometri bukan sekadar kumpulan angka, melainkan cerminan dari prinsip dasar alam semesta yang melibatkan penggandaan berulang, baik dalam skala kosmik maupun mikroskopis. Pemahaman tentang kondisi konvergensi dan divergensi memberikan alat prediksi yang vital, membedakan antara sistem yang stabil dan yang menuju ledakan pertumbuhan tak terkendali.