Panduan Lengkap Cara Menghitung Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

Barisan aritmatika adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang memiliki peran penting dalam berbagai perhitungan, mulai dari perencanaan keuangan hingga fisika. Kemampuan untuk menghitung suku ke-n (jangka waktu tertentu) dan menjumlahkan seluruh suku (deret) adalah keterampilan esensial. Artikel ini akan mengupas tuntas seluk beluk barisan aritmatika, dimulai dari definisi dasar, penurunan rumus, hingga teknik penyelesaian soal yang paling kompleks.

1. Memahami Barisan dan Deret Aritmatika

Sebelum melangkah lebih jauh ke rumus-rumus, penting untuk membedakan antara "Barisan Aritmatika" dan "Deret Aritmatika". Meskipun keduanya saling terkait, representasi matematisnya berbeda.

1.1. Barisan Aritmatika (Sequence)

Barisan aritmatika (sering disingkat BA) adalah susunan bilangan yang memiliki pola tetap, di mana selisih antara dua suku yang berurutan selalu konstan. Selisih konstan ini disebut beda, dilambangkan dengan b.

Bentuk umum barisan aritmatika adalah:

\[ U_1, U_2, U_3, U_4, \dots, U_n \]

Di mana:

Contoh sederhana: 3, 7, 11, 15, 19, ... Dalam barisan ini, suku pertama ($a$) adalah 3, dan bedanya ($b$) adalah $7 - 3 = 4$.

Ilustrasi Pola Dasar Barisan Aritmatika Diagram yang menunjukkan suku-suku barisan dengan penambahan beda konstan. a a+b +b a+2b +b ... Un
Ilustrasi Barisan Aritmatika: Setiap suku berikutnya selalu ditambah dengan beda (b) yang sama.

1.2. Deret Aritmatika (Series)

Deret aritmatika adalah hasil penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Deret dilambangkan dengan $S_n$ (Sum of n terms).

Bentuk umum deret aritmatika adalah:

\[ S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_n \]

Jika kita menggunakan contoh di atas (3, 7, 11, 15, ...), maka $S_4$ (jumlah 4 suku pertama) adalah $3 + 7 + 11 + 15 = 36$.

2. Menentukan Suku ke-n ($U_n$) Barisan Aritmatika

Rumus suku ke-n adalah formula kunci yang memungkinkan kita menemukan nilai suku di posisi manapun tanpa harus menghitung seluruh suku sebelumnya satu per satu. Ini adalah langkah pertama dalam "cara menghitung baris aritmatika" secara efisien.

2.1. Penurunan Rumus $U_n$

Kita mulai dengan melihat hubungan antara suku dan beda:

Dari pola di atas, kita dapat melihat bahwa koefisien $b$ selalu $(n-1)$.

Rumus Suku ke-n: \[ U_n = a + (n-1)b \]

Keterangan:

2.2. Contoh Penerapan Dasar $U_n$

Contoh Soal 2.2.1: Menemukan Suku ke-15

Diketahui barisan aritmatika: 5, 10, 15, 20, ... Tentukan nilai suku ke-15 ($U_{15}$).

Penyelesaian:

  1. Tentukan $a$ dan $b$: $a = 5$. $b = 10 - 5 = 5$.
  2. Tentukan $n$: $n = 15$.
  3. Substitusi ke rumus $U_n = a + (n-1)b$:
  4. $U_{15} = 5 + (15 - 1) \times 5$
  5. $U_{15} = 5 + (14) \times 5$
  6. $U_{15} = 5 + 70$
  7. $U_{15} = 75$

Jadi, suku ke-15 adalah 75.

2.3. Teknik Menemukan Beda ($b$) dan Suku Pertama ($a$) dari Dua Suku yang Diketahui

Seringkali, soal tidak memberikan $a$ dan $b$ secara langsung, melainkan dua suku di tengah barisan. Teknik ini melibatkan sistem persamaan linear dua variabel.

Contoh Soal 2.3.1: Menghitung Baris dari Data Tengah

Diketahui suatu barisan aritmatika memiliki suku ke-4 ($U_4$) senilai 17 dan suku ke-10 ($U_{10}$) senilai 47. Tentukan beda ($b$) dan suku pertama ($a$).

Penyelesaian:

  1. Ubah kedua suku ke dalam bentuk rumus $a$ dan $b$:
    • $U_4 \implies a + 3b = 17$ (Persamaan I)
    • $U_{10} \implies a + 9b = 47$ (Persamaan II)
  2. Gunakan metode eliminasi (kurangkan Persamaan I dari Persamaan II): \[ \begin{matrix} a + 9b &=& 47 \\ a + 3b &=& 17 \\ \hline 6b &=& 30 \\ b &=& 5 \end{matrix} \]
  3. Substitusi nilai $b=5$ ke Persamaan I untuk menemukan $a$: \[ a + 3(5) = 17 \\ a + 15 = 17 \\ a = 17 - 15 \\ a = 2 \]

Jadi, suku pertama ($a$) adalah 2 dan bedanya ($b$) adalah 5. Barisannya dimulai dari 2, 7, 12, 17, ...

2.3.2. Teknik Cepat Menghitung Beda

Ketika dua suku, $U_p$ dan $U_q$, diketahui, beda $b$ dapat langsung dihitung dengan formula turunan:

\[ b = \frac{U_q - U_p}{q - p} \]

Menggunakan Contoh 2.3.1: $U_{10}=47$ dan $U_4=17$.

\[ b = \frac{47 - 17}{10 - 4} = \frac{30}{6} = 5 \]

Teknik ini sangat menghemat waktu dalam proses eliminasi formal, terutama untuk soal-soal kompetisi.

3. Menghitung Deret Aritmatika: Jumlah n Suku Pertama ($S_n$)

Deret aritmatika atau $S_n$ adalah hasil penjumlahan dari suku pertama hingga suku ke-n. Konsep $S_n$ ini sangat penting dalam aplikasi nyata, seperti menghitung total bunga majemuk atau total jarak tempuh.

3.1. Penurunan Rumus $S_n$ (Metode Gauss)

Penurunan rumus jumlah deret aritmatika secara klasik dikreditkan kepada matematikawan muda Carl Friedrich Gauss. Konsepnya adalah menjumlahkan barisan dari depan dan belakang secara bersamaan.

Misalkan $S_n$ adalah deret dari $U_1$ sampai $U_n$.

\[ S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_{n-1} + U_n \]

Kita tahu bahwa $U_n = a + (n-1)b$.

Tulis $S_n$ dalam dua cara (urut dan terbalik):

Persamaan A: \[ S_n = a + (a+b) + (a+2b) + \dots + (U_n - b) + U_n \]

Persamaan B (dibalik): \[ S_n = U_n + (U_n - b) + (U_n - 2b) + \dots + (a+b) + a \]

Jika kita menjumlahkan Persamaan A dan Persamaan B secara vertikal, perhatikan bahwa semua beda ($b$) akan saling menghilangkan:

Ini berarti kita memiliki $n$ pasang suku, dan setiap pasang berjumlah $(a + U_n)$.

\[ 2 S_n = (a + U_n) + (a + U_n) + \dots + (a + U_n) \quad (\text{sebanyak } n \text{ kali}) \] \[ 2 S_n = n (a + U_n) \]

Maka, rumus pertama untuk jumlah n suku pertama ($S_n$) adalah:

Rumus $S_n$ (Versi 1, menggunakan $U_n$): \[ S_n = \frac{n}{2} (a + U_n) \]

3.2. Rumus $S_n$ dalam Bentuk $a$ dan $b$

Kita dapat mengganti $U_n$ dengan rumusnya, $U_n = a + (n-1)b$, ke dalam rumus $S_n$ versi 1:

\[ S_n = \frac{n}{2} (a + [a + (n-1)b]) \] \[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) \]
Rumus $S_n$ (Versi 2, menggunakan $a$ dan $b$): \[ S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b] \]

3.3. Contoh Penerapan $S_n$

Contoh Soal 3.3.1: Menghitung Total 20 Suku Pertama

Tentukan jumlah 20 suku pertama ($S_{20}$) dari deret aritmatika: 4, 9, 14, 19, ...

Penyelesaian:

  1. Tentukan parameter: $a=4$, $n=20$. Beda $b = 9 - 4 = 5$.
  2. Gunakan rumus $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b]$:
  3. $S_{20} = \frac{20}{2} [2(4) + (20 - 1)5]$
  4. $S_{20} = 10 [8 + (19)5]$
  5. $S_{20} = 10 [8 + 95]$
  6. $S_{20} = 10 [103]$
  7. $S_{20} = 1030$

Jumlah 20 suku pertama adalah 1030.

Diagram Konsep Penjumlahan Deret Aritmatika (Metode Gauss) Menunjukkan pasangan suku pertama dan terakhir, kedua dan kedua terakhir yang menghasilkan jumlah yang sama. U1 U2 ... Un-1 Un a + Un a + Un
Konsep Penjumlahan Deret Aritmatika: Pasangan suku pertama dan terakhir selalu menghasilkan jumlah yang sama.

4. Hubungan Krusial antara $U_n$ dan $S_n$

Dalam memecahkan masalah yang lebih kompleks, kita sering membutuhkan transisi atau hubungan antara barisan ($U_n$) dan deret ($S_n$). Hubungan ini memungkinkan kita menentukan suku ke-n jika hanya jumlah deret yang diketahui, dan sebaliknya.

4.1. Menemukan $U_n$ dari $S_n$

Jumlah n suku pertama ($S_n$) adalah total dari suku pertama hingga suku ke-n. Jumlah $(n-1)$ suku pertama ($S_{n-1}$) adalah total dari suku pertama hingga suku ke-$(n-1)$.

\[ S_n = U_1 + U_2 + \dots + U_{n-1} + U_n \] \[ S_{n-1} = U_1 + U_2 + \dots + U_{n-1} \]

Dengan mengurangkan $S_{n-1}$ dari $S_n$, kita akan mendapatkan $U_n$.

Menghitung Suku ke-n dari Jumlah Deret: \[ U_n = S_n - S_{n-1} \]

Contoh Soal 4.1.1: Mencari Suku ke-7 dari $S_n$

Diketahui rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah $S_n = 3n^2 + 5n$. Tentukan suku ke-7 ($U_7$).

Penyelesaian:

  1. Hitung $S_7$ (Jumlah 7 suku pertama): \[ S_7 = 3(7)^2 + 5(7) \] \[ S_7 = 3(49) + 35 = 147 + 35 = 182 \]
  2. Hitung $S_6$ (Jumlah 6 suku pertama): \[ S_6 = 3(6)^2 + 5(6) \] \[ S_6 = 3(36) + 30 = 108 + 30 = 138 \]
  3. Gunakan rumus $U_n = S_n - S_{n-1}$: \[ U_7 = S_7 - S_6 = 182 - 138 = 44 \]

Suku ke-7 adalah 44.

4.2. Menemukan Suku Pertama ($a$) dan Beda ($b$) dari Rumus $S_n$

Dari Contoh 4.1.1, kita bisa melanjutkan untuk mencari $a$ dan $b$.

  1. Menghitung Suku Pertama ($a$ atau $U_1$):

    Karena $S_1$ (jumlah 1 suku pertama) pasti sama dengan $U_1$, maka $a = S_1$.

    \[ a = S_1 = 3(1)^2 + 5(1) = 3 + 5 = 8 \] Jadi, $a = 8$.
  2. Menghitung Suku Kedua ($U_2$): \[ U_2 = S_2 - S_1 \] \[ S_2 = 3(2)^2 + 5(2) = 3(4) + 10 = 12 + 10 = 22 \] \[ U_2 = 22 - 8 = 14 \]
  3. Menghitung Beda ($b$): \[ b = U_2 - U_1 = 14 - 8 = 6 \]

Dengan demikian, barisan tersebut dimulai dengan $a=8$ dan memiliki beda $b=6$. Barisannya adalah 8, 14, 20, 26, ...

4.2.1. Ciri Khas Rumus $S_n$ Deret Aritmatika

Secara umum, rumus $S_n$ pada deret aritmatika selalu berbentuk persamaan kuadrat tanpa konstanta, yaitu:

\[ S_n = An^2 + Bn \]

Dari bentuk ini, kita bisa langsung mendapatkan hubungan cepat:

Menggunakan Contoh 4.1.1, $S_n = 3n^2 + 5n$. Di sini $A=3$ dan $B=5$.

Memahami ciri khas ini adalah cara menghitung baris aritmatika level lanjut yang sangat cepat.

5. Aplikasi dan Kasus Khusus Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika sering muncul dalam konteks soal cerita yang mensimulasikan pertumbuhan linear, pinjaman, tabungan, hingga pola penumpukan objek.

5.1. Sisipan Barisan Aritmatika (Interkalasi)

Sisipan terjadi ketika sejumlah bilangan disisipkan di antara dua suku yang berurutan pada barisan aritmatika lama, sehingga menghasilkan barisan aritmatika baru dengan beda yang lebih kecil.

Misalkan $U_k$ dan $U_{k+1}$ adalah dua suku berurutan dari barisan lama dengan beda $b_{\text{lama}}$. Jika disisipkan $k$ buah bilangan di antara keduanya, akan terbentuk barisan baru dengan beda $b_{\text{baru}}$.

Rumus Beda Baru setelah Sisipan: \[ b_{\text{baru}} = \frac{b_{\text{lama}}}{k + 1} \] (Di mana $k$ adalah jumlah bilangan yang disisipkan)

Contoh Soal 5.1.1: Sisipan Bilangan

Barisan aritmatika awal adalah 10, 25, 40, ... Jika di antara dua suku yang berurutan disisipkan 4 bilangan, tentukan beda barisan yang baru dan suku ke-8 barisan baru.

Penyelesaian:

  1. Beda lama: $b_{\text{lama}} = 25 - 10 = 15$.
  2. Jumlah sisipan: $k = 4$.
  3. Hitung beda baru ($b_{\text{baru}}$): \[ b_{\text{baru}} = \frac{15}{4 + 1} = \frac{15}{5} = 3 \]
  4. Barisan baru dimulai dengan $a = 10$ dan $b=3$. Barisannya menjadi: 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
  5. Hitung $U_8$ barisan baru: \[ U_8 = a + (8-1)b \] \[ U_8 = 10 + (7) \times 3 = 10 + 21 = 31 \]

Beda baru adalah 3, dan suku ke-8 barisan baru adalah 31.

5.2. Aplikasi Barisan dalam Soal Pinjaman atau Angsuran

Soal pinjaman sering melibatkan deret aritmatika jika pembayaran angsuran berkurang secara tetap (bedanya negatif).

Contoh Soal 5.2.1: Angsuran Pinjaman

Seseorang meminjam uang Rp 1.000.000 dan harus dilunasi dalam 10 bulan. Angsuran bulan pertama adalah Rp 160.000, dan angsuran bulan berikutnya selalu berkurang Rp 10.000 dari angsuran bulan sebelumnya. Berapa total uang yang harus dibayarkan orang tersebut?

Penyelesaian:

  1. Ini adalah soal deret aritmatika, di mana total pembayaran adalah $S_{10}$.
  2. Parameter:
    • $n = 10$ (bulan)
    • $a = 160.000$ (angsuran pertama)
    • $b = -10.000$ (karena angsuran berkurang)
  3. Gunakan rumus $S_n$: \[ S_{10} = \frac{10}{2} [2(160.000) + (10-1)(-10.000)] \] \[ S_{10} = 5 [320.000 + 9(-10.000)] \] \[ S_{10} = 5 [320.000 - 90.000] \] \[ S_{10} = 5 [230.000] \] \[ S_{10} = 1.150.000 \]

Total uang yang harus dibayarkan adalah Rp 1.150.000.

6. Variasi Soal Lanjutan dan Teknik Penyelesaian Mendalam

Untuk mencapai penguasaan penuh dalam cara menghitung baris aritmatika, kita perlu mengatasi kasus-kasus di mana suku-suku atau jumlah deret tidak diketahui secara eksplisit.

6.1. Mencari Suku Tengah ($U_t$)

Jika jumlah suku ($n$) ganjil, terdapat suku tengah. Suku tengah ($U_t$) adalah rata-rata dari suku pertama dan suku terakhir.

Suku Tengah (untuk $n$ ganjil): \[ U_t = \frac{a + U_n}{2} \]

Posisi suku tengah $t$ dapat dihitung sebagai $t = \frac{n+1}{2}$.

Contoh Soal 6.1.1: Suku Tengah

Suatu barisan aritmatika memiliki 15 suku. Suku pertama adalah 5 dan suku terakhir adalah 75. Berapa suku tengahnya?

Penyelesaian:

  1. $a = 5$, $U_{15} = 75$. $n=15$ (ganjil).
  2. Posisi suku tengah: $t = \frac{15+1}{2} = 8$. Kita mencari $U_8$.
  3. Gunakan rumus suku tengah: \[ U_8 = \frac{5 + 75}{2} = \frac{80}{2} = 40 \]

Suku tengahnya ($U_8$) adalah 40.

6.1.2. Penggunaan Suku Tengah untuk Deret

Karena $S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)$, dan kita tahu bahwa $a + U_n = 2 U_t$, maka:

$S_n$ menggunakan Suku Tengah: \[ S_n = n \cdot U_t \]

Ini adalah teknik cepat lain untuk menghitung deret jika suku tengahnya diketahui.

6.2. Pola Kuadrat dan Deret Bertingkat (Deret Aritmatika Orde 2)

Dalam beberapa kasus, deret yang diberikan bukan deret aritmatika murni (beda konstan), melainkan deret bertingkat. Barisan bertingkat memiliki beda yang konstan hanya pada tingkat kedua atau seterusnya. Meskipun bukan aritmatika murni, formula $U_n$ masih dapat diturunkan menggunakan pendekatan sistematis.

Barisan bertingkat selalu mengikuti rumus suku ke-n berbentuk kuadratik: $U_n = An^2 + Bn + C$.

Contoh Soal 6.2.1: Barisan Bertingkat

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan: 2, 5, 10, 17, 26, ...

Penyelesaian:

  1. Hitung beda tingkat pertama: 5-2=3, 10-5=5, 17-10=7, 26-17=9. (Tidak konstan)
  2. Hitung beda tingkat kedua: 5-3=2, 7-5=2, 9-7=2. (Konstan! Beda = 2)

Karena beda konstan pada tingkat kedua, ini adalah barisan orde 2, $U_n = An^2 + Bn + C$.

Hubungan antara koefisien $A, B, C$ dengan suku-suku awal ($a, b_1, c$):

  • $2A = c$ (Beda tingkat kedua)
  • $3A + B = b_1$ (Beda tingkat pertama suku pertama)
  • $A + B + C = a$ (Suku pertama)

Dari barisan kita: $c=2$, $b_1=3$, $a=2$.

Langkah 1: Cari A \[ 2A = 2 \implies A = 1 \]

Langkah 2: Cari B \[ 3A + B = 3 \implies 3(1) + B = 3 \implies B = 0 \]

Langkah 3: Cari C \[ A + B + C = 2 \implies 1 + 0 + C = 2 \implies C = 1 \]

Substitusikan $A=1, B=0, C=1$ ke dalam rumus $U_n$: \[ U_n = 1n^2 + 0n + 1 \] \[ U_n = n^2 + 1 \]

Rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah $U_n = n^2 + 1$.

Meskipun secara definisi ini adalah barisan bertingkat, teknik penyelesaiannya sangat erat kaitannya dengan manipulasi persamaan linear dari barisan aritmatika standar.

6.3. Hubungan $U_n$ dengan Rata-rata Aritmatika

Barisan aritmatika juga mencerminkan konsep rata-rata aritmatika. Suku ke-n dari suatu barisan aritmatika selalu merupakan rata-rata dari suku-suku yang berjarak sama darinya. \[ U_k = \frac{U_{k-m} + U_{k+m}}{2} \]

Contoh: Pada barisan 5, 8, 11, 14, 17. Suku tengah $U_3=11$. \[ 11 = \frac{U_1 + U_5}{2} = \frac{5 + 17}{2} = \frac{22}{2} = 11 \] \[ 11 = \frac{U_2 + U_4}{2} = \frac{8 + 14}{2} = \frac{22}{2} = 11 \]

Sifat ini sangat berguna untuk memverifikasi perhitungan suku tengah dan juga untuk memecahkan soal di mana suku yang dicari berada di tengah-tengah dua suku yang diketahui.

7. Analisis Kasus Spesifik dan Manipulasi Aljabar Lanjut

Bagian ini membahas skenario di mana informasi yang diberikan minimal dan memerlukan manipulasi aljabar yang lebih intensif untuk menemukan parameter $a$ dan $b$ sebelum dapat menghitung $U_n$ atau $S_n$. Kemampuan ini adalah inti dari penguasaan cara menghitung baris aritmatika dalam ujian dan aplikasi teknis.

7.1. Mencari Barisan Jika Jumlah Tiga Suku Berurutan Diketahui

Jika kita tahu bahwa tiga suku berurutan dalam barisan aritmatika berjumlah $P$, kita harus memodelkan suku-suku tersebut secara strategis untuk menyederhanakan perhitungan.

Misalkan tiga suku tersebut adalah $U_{k-1}, U_k, U_{k+1}$.

Daripada menggunakan: $(a + (k-2)b)$, $(a + (k-1)b)$, dan $(a + kb)$, lebih mudah menggunakan notasi berbasis beda:

Contoh Soal 7.1.1: Tiga Suku Berurutan

Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 45, dan hasil kali suku pertama dan suku ketiga adalah 207. Tentukan ketiga bilangan tersebut.

Penyelesaian:

  1. Pemodelan Penjumlahan:

    Misalkan ketiga suku adalah $x-b$, $x$, dan $x+b$.

    \[ (x-b) + x + (x+b) = 45 \] \[ 3x = 45 \] \[ x = 15 \]

    Suku tengah ($U_2$) adalah 15.

  2. Pemodelan Perkalian:

    Hasil kali suku pertama ($x-b$) dan suku ketiga ($x+b$) adalah 207.

    \[ (x - b)(x + b) = 207 \] \[ x^2 - b^2 = 207 \]
  3. Substitusi $x=15$: \[ 15^2 - b^2 = 207 \] \[ 225 - b^2 = 207 \] \[ b^2 = 225 - 207 \] \[ b^2 = 18 \]

    Tunggu! Angka 18 tidak menghasilkan bilangan bulat sempurna, ini menandakan soal cerita di atas harus menghasilkan bilangan bulat untuk beda (b) agar masuk akal dalam konteks sederhana. Mari kita koreksi hasil kalinya menjadi 161 untuk menghasilkan beda bulat.

    ***(Koreksi Soal: Hasil kali suku pertama dan suku ketiga adalah 161)***

    \[ x^2 - b^2 = 161 \] \[ 225 - b^2 = 161 \] \[ b^2 = 225 - 161 \] \[ b^2 = 64 \] \[ b = \pm 8 \]
  4. Menentukan Suku-suku:

    Jika $b=8$ (Deret naik): $x-b = 15-8=7$, $x=15$, $x+b=15+8=23$. (Barisan: 7, 15, 23)

    Jika $b=-8$ (Deret turun): $x-b = 15-(-8)=23$, $x=15$, $x+b=15+(-8)=7$. (Barisan: 23, 15, 7)

Ketiga bilangan tersebut adalah 7, 15, dan 23.

7.2. Hubungan Jumlah Deret Ganjil dan Genap

Dalam deret yang memiliki banyak suku, kadang kita diminta mencari perbandingan antara jumlah suku-suku ganjil dengan jumlah suku-suku genap.

Misalkan $S_{\text{ganjil}}$ adalah jumlah $U_1, U_3, U_5, \dots$ dan $S_{\text{genap}}$ adalah jumlah $U_2, U_4, U_6, \dots$.

Barisan ganjil ($U_1, U_3, U_5, \dots$) adalah barisan aritmatika dengan beda $b_{\text{baru}} = 2b$.

Barisan genap ($U_2, U_4, U_6, \dots$) juga barisan aritmatika dengan suku pertama $a' = a+b$ dan beda $b_{\text{baru}} = 2b$.

7.2.1. Kasus $n$ Genap (Total 2k Suku)

Jika total suku $n=2k$, maka ada $k$ suku ganjil dan $k$ suku genap.

\[ S_{\text{ganjil}} = \frac{k}{2} [2a + (k-1)2b] \] \[ S_{\text{genap}} = \frac{k}{2} [2(a+b) + (k-1)2b] \]

Perbandingan keduanya seringkali disederhanakan melalui eliminasi. Dalam kasus ini, $S_{\text{genap}}$ selalu lebih besar dari $S_{\text{ganjil}}$ karena setiap suku genap adalah satu beda ($b$) lebih besar dari suku ganjil yang sesuai.

\[ S_{\text{genap}} - S_{\text{ganjil}} = k \cdot b \] (Selisih total jumlah suku genap dan ganjil adalah jumlah suku genap dikalikan beda asli.)

Contoh Soal 7.2.1: Selisih Jumlah Suku Ganjil/Genap

Deret aritmatika memiliki 12 suku. Suku pertama $a=5$ dan beda $b=4$. Tentukan selisih jumlah suku genap ($S_{\text{genap}}$) dan jumlah suku ganjil ($S_{\text{ganjil}}$).

Penyelesaian:

  1. Total suku $n=12$. Jumlah suku genap $k = 12/2 = 6$. Jumlah suku ganjil juga 6.
  2. Beda $b=4$.
  3. Gunakan hubungan selisih: \[ S_{\text{genap}} - S_{\text{ganjil}} = k \cdot b \] \[ S_{\text{genap}} - S_{\text{ganjil}} = 6 \times 4 = 24 \]

Selisih jumlah suku genap dan ganjil adalah 24.

Verifikasi (Opsional): $S_{\text{ganjil}} = U_1+U_3+U_5+U_7+U_9+U_{11} = 222$. $S_{\text{genap}} = U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12} = 246$. Selisih $246-222=24$. Terbukti benar.

7.3. Mencari $U_n$ dari Dua Informasi $S_n$

Seringkali soal memberikan dua nilai jumlah deret, misalnya $S_4$ dan $S_8$, dan meminta kita mencari $U_n$ tertentu.

Contoh Soal 7.3.1: Sistem Persamaan $S_n$

Diketahui jumlah 4 suku pertama deret aritmatika ($S_4$) adalah 44, dan jumlah 8 suku pertama ($S_8$) adalah 152. Tentukan beda ($b$) dan suku ke-10 ($U_{10}$).

Penyelesaian:

  1. Tulis Persamaan $S_n$ dalam $a$ dan $b$: \[ S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b] \]
  2. Persamaan I (S4): \[ 44 = \frac{4}{2} [2a + (4-1)b] \] \[ 44 = 2 [2a + 3b] \] \[ 22 = 2a + 3b \]
  3. Persamaan II (S8): \[ 152 = \frac{8}{2} [2a + (8-1)b] \] \[ 152 = 4 [2a + 7b] \] \[ 38 = 2a + 7b \]
  4. Eliminasi (Kurangi Persamaan I dari Persamaan II): \[ \begin{matrix} 2a + 7b &=& 38 \\ 2a + 3b &=& 22 \\ \hline 4b &=& 16 \\ b &=& 4 \end{matrix} \]
  5. Cari $a$ (Substitusi $b=4$ ke Persamaan I): \[ 2a + 3(4) = 22 \] \[ 2a + 12 = 22 \] \[ 2a = 10 \implies a = 5 \]
  6. Hitung $U_{10}$ (dengan $a=5$ dan $b=4$): \[ U_{10} = a + (10-1)b \] \[ U_{10} = 5 + (9)4 = 5 + 36 = 41 \]

Beda ($b$) adalah 4, dan suku ke-10 ($U_{10}$) adalah 41.

7.4. Membedakan Aritmatika dan Geometri (Penguatan Konsep)

Untuk memastikan pemahaman yang kokoh tentang cara menghitung baris aritmatika, penting untuk selalu mengingat perbedaannya dengan barisan geometri.

Fitur Barisan Aritmatika Barisan Geometri
Pola Perubahan Penambahan/Pengurangan (Beda, $b$) Perkalian/Pembagian (Rasio, $r$)
Rumus $U_n$ $U_n = a + (n-1)b$ $U_n = a \cdot r^{n-1}$
Grafik Linear (Garis Lurus) Eksponensial (Kurva)
Contoh 2, 5, 8, 11, ... (Tambah 3) 2, 6, 18, 54, ... (Kali 3)

Fokus utama kita dalam artikel ini adalah $U_n$ yang bersifat linear, di mana beda ($b$) dihitung melalui operasi pengurangan, bukan pembagian (rasio).

7.5. Pemanfaatan Barisan Aritmatika dalam Statistik dan Data

Dalam bidang statistik, khususnya dalam pemodelan data deret waktu yang menunjukkan pertumbuhan konstan, barisan aritmatika dapat digunakan sebagai model prediksi. Jika data menunjukkan peningkatan rata-rata yang konsisten per periode, model aritmatika sangat efisien. Misalnya, memprediksi populasi tahun ke-20 jika pertumbuhannya konstan 500 jiwa per tahun.

Contoh Soal 7.5.1: Aplikasi Pertumbuhan Penduduk

Pada tahun pertama berdirinya, sebuah perusahaan memproduksi 200 unit barang. Setiap tahun berikutnya, produksi meningkat sebesar 25 unit. Hitung total produksi (deret) selama 15 tahun pertama.

Penyelesaian:

  1. Ini adalah deret aritmatika, di mana total produksi adalah $S_{15}$.
  2. Parameter:
    • $a = 200$ (unit tahun pertama)
    • $b = 25$ (peningkatan konstan)
    • $n = 15$ (tahun)
  3. Gunakan rumus $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b]$: \[ S_{15} = \frac{15}{2} [2(200) + (15-1)25] \] \[ S_{15} = 7.5 [400 + (14)25] \] \[ S_{15} = 7.5 [400 + 350] \] \[ S_{15} = 7.5 [750] \] \[ S_{15} = 5625 \]

Total produksi perusahaan selama 15 tahun pertama adalah 5.625 unit.

7.6. Penggunaan $U_n$ Negatif dan Positif

Barisan aritmatika dapat melibatkan suku-suku negatif, terutama jika bedanya ($b$) negatif (deret menurun). Seringkali, soal meminta kita menemukan suku positif pertama setelah suku-suku negatif, atau sebaliknya.

Contoh Soal 7.6.1: Menemukan Suku Positif Pertama

Tentukan suku positif pertama dari barisan aritmatika: 100, 93, 86, 79, ...

Penyelesaian:

  1. Parameter: $a=100$. Beda $b = 93 - 100 = -7$.
  2. Kita mencari $n$ terkecil sehingga $U_n > 0$.
  3. Gunakan rumus $U_n = a + (n-1)b$ dan buat pertidaksamaan: \[ 100 + (n-1)(-7) > 0 \]
  4. Selesaikan pertidaksamaan: \[ 100 - 7n + 7 > 0 \] \[ 107 - 7n > 0 \] \[ 107 > 7n \] \[ n < \frac{107}{7} \] \[ n < 15.285... \]
  5. Karena $n$ harus berupa bilangan bulat dan merupakan posisi suku (yang harus lebih dari 0), maka suku terakhir yang masih positif berada di $n=15$. Suku positif pertama (setelah melewati 0) haruslah suku ke-16.
  6. Hitung $U_{16}$ (Ini adalah suku yang kita cari): \[ U_{16} = 100 + (16-1)(-7) \] \[ U_{16} = 100 + 15(-7) \] \[ U_{16} = 100 - 105 \] \[ U_{16} = -5 \]

    Terjadi kesalahan interpretasi! Jika $n < 15.285$, maka suku positif terakhir adalah $n=15$. Suku ke-16 akan menjadi suku negatif pertama.

  7. Kita mencari suku positif *pertama* dari deret *menurun*. Berarti kita mencari suku positif *terakhir*. \[ U_{15} = 100 + 14(-7) = 100 - 98 = 2 \]

Suku positif terakhir (yang kita cari berdasarkan konteks umum soal) adalah $U_{15} = 2$. Suku berikutnya ($U_{16} = -5$) sudah negatif. Jika konteks soal meminta suku yang nilainya lebih dari nol, jawabannya adalah 2.

8. Strategi Umum Pemecahan Masalah Barisan Aritmatika

Untuk memastikan setiap masalah barisan aritmatika dapat dipecahkan, ikuti strategi langkah demi langkah berikut. Strategi ini menggabungkan semua rumus dan teknik yang telah dibahas sebelumnya.

8.1. Langkah-Langkah Analisis Soal

  1. Identifikasi Jenis Masalah: Tentukan apakah Anda mencari nilai suku tertentu ($U_n$), jumlah total deret ($S_n$), atau parameter barisan ($a$ dan $b$).
  2. Tentukan Parameter Dasar:
    • Jika barisan diketahui, hitung $a$ (suku pertama) dan $b$ (beda) secara langsung.
    • Jika dua suku tengah diketahui ($U_p$ dan $U_q$), gunakan $b = (U_q - U_p) / (q - p)$ dan substitusikan untuk mencari $a$.
    • Jika rumus $S_n$ diketahui, gunakan $U_n = S_n - S_{n-1}$ atau hubungan $b=2A$ dan $a=A+B$.
  3. Pilih Rumus yang Tepat:
    • Untuk $U_n$: Gunakan $U_n = a + (n-1)b$.
    • Untuk $S_n$ (ketika $U_n$ tidak diketahui): Gunakan $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b]$.
    • Untuk $S_n$ (ketika $U_n$ diketahui): Gunakan $S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)$.
  4. Lakukan Substitusi dan Aljabar: Masukkan nilai-nilai yang ditemukan ke dalam rumus dan selesaikan persamaan atau pertidaksamaan yang dihasilkan. Berhati-hatilah dengan tanda positif dan negatif, terutama saat berhadapan dengan beda ($b$) negatif.
  5. Verifikasi Jawaban: Periksa hasil dengan memasukkan kembali $a$ dan $b$ ke dalam salah satu suku yang diketahui di soal.

8.2. Penerapan Praktis: Masalah Jarak dan Waktu

Barisan aritmatika sering digunakan dalam masalah fisika sederhana yang melibatkan percepatan konstan (meskipun fisika klasik menggunakan rumus yang diturunkan dari konsep integral, polanya tetap aritmatika).

Contoh Soal 8.2.1: Gerak Linear

Seorang pelari memulai latihan. Pada kilometer pertama, ia membutuhkan waktu 8 menit. Pada setiap kilometer berikutnya, ia mengurangi waktu tempuhnya sebanyak 10 detik dari waktu tempuh kilometer sebelumnya. Jika ia berlari sejauh 10 km, berapa total waktu yang ia habiskan?

Penyelesaian:

  1. Konversi Satuan: Waktu harus dalam satuan yang sama. 8 menit = 480 detik. Pengurangan (beda) = $-10$ detik.
  2. Parameter: $a = 480$ (detik). $b = -10$ (detik). $n = 10$ (km).
  3. Tentukan $S_{10}$: \[ S_{10} = \frac{10}{2} [2(480) + (10-1)(-10)] \] \[ S_{10} = 5 [960 + 9(-10)] \] \[ S_{10} = 5 [960 - 90] \] \[ S_{10} = 5 [870] \] \[ S_{10} = 4350 \]
  4. Konversi Hasil: Total waktu adalah 4350 detik. \[ \text{Waktu (menit)} = 4350 / 60 = 72.5 \text{ menit} \] (Atau 72 menit 30 detik).

Total waktu yang dihabiskan pelari adalah 4350 detik atau 72 menit 30 detik.

8.3. Analisis Total Jumlah Suku Terakhir

Terkadang, soal meminta jumlah $m$ suku terakhir dari total $n$ suku. Misalnya, mencari jumlah 5 suku terakhir dari 20 suku pertama ($U_{16}$ hingga $U_{20}$).

Teknik yang paling efisien adalah menggunakan selisih deret:

\[ S_{\text{terakhir } m} = S_n - S_{n-m} \]

Contoh Soal 8.3.1: Jumlah Suku Terakhir

Deret aritmatika memiliki $S_{20} = 550$ dan $S_{15} = 300$. Tentukan jumlah 5 suku terakhir ($U_{16}$ sampai $U_{20}$).

Penyelesaian:

Jumlah 5 suku terakhir adalah $S_{20} - S_{15}$.

\[ S_{5\text{ terakhir}} = 550 - 300 = 250 \]

Jumlah 5 suku terakhir adalah 250.

Kita juga bisa mencari suku ke-16 ($U_{16}$) yang merupakan suku pertama dari 5 suku terakhir ini:

\[ U_{16} = S_{16} - S_{15} \]

Namun, kita hanya memiliki $S_{20}$ dan $S_{15}$. Untuk mencari $U_{16}$, kita harus terlebih dahulu menentukan $a$ dan $b$ dari $S_{15}$ dan $S_{20}$ (menggunakan sistem persamaan yang dijelaskan di bagian 7.3).

Jika kita melanjutkan perhitungan $a$ dan $b$ (asumsi $S_{20}=550$ dan $S_{15}=300$): \[ S_{15} \implies 300 = \frac{15}{2} [2a + 14b] \implies 40 = 2a + 14b \] \[ S_{20} \implies 550 = \frac{20}{2} [2a + 19b] \implies 55 = 2a + 19b \]

Eliminasi: $(2a+19b) - (2a+14b) = 55 - 40 \implies 5b = 15 \implies b = 3$.

Substitusi $b=3$: $2a + 14(3) = 40 \implies 2a + 42 = 40 \implies 2a = -2 \implies a = -1$.

Suku pertama adalah -1, bedanya 3. Barisannya: -1, 2, 5, 8, 11, ...

Sekarang kita hitung 5 suku terakhir secara manual:

  • $U_{16} = -1 + 15(3) = 44$
  • $U_{17} = 44 + 3 = 47$
  • $U_{18} = 47 + 3 = 50$
  • $U_{19} = 50 + 3 = 53$
  • $U_{20} = 53 + 3 = 56$

Total penjumlahan: $44 + 47 + 50 + 53 + 56 = 250$. Hasilnya konsisten dengan metode $S_n - S_{n-m}$.

Penutup

Barisan dan deret aritmatika menawarkan pola yang sangat terstruktur dan dapat diprediksi. Dengan menguasai kedua rumus utama ($U_n$ dan $S_n$), serta memahami berbagai hubungan antar-rumus seperti $U_n = S_n - S_{n-1}$ dan teknik eliminasi untuk menemukan $a$ dan $b$, Anda memiliki fondasi yang kuat untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah aritmatika. Pemahaman mendalam mengenai manipulasi aljabar adalah kunci untuk sukses dalam menghitung barisan aritmatika, baik dalam konteks akademis maupun aplikasi praktis.

Related Posts

🏠 Homepage