Panduan Lengkap Barisan Geometri: Konsep Dasar, Rumus, Derivasi, dan Aplikasi Praktis

Matematika adalah ilmu yang mempelajari pola. Salah satu pola fundamental yang sering dijumpai baik dalam hitungan murni maupun aplikasi kehidupan sehari-hari adalah Barisan Geometri. Dalam dunia pendidikan modern, pemahaman mendalam tentang konsep ini sangat penting, khususnya bagi mereka yang sedang mempersiapkan diri menghadapi ujian atau ingin menguasai konsep dasar pertumbuhan eksponensial.

Artikel ini akan mengupas tuntas seluk-beluk Barisan Geometri, mulai dari definisi paling dasar, penurunan rumus, hingga penerapannya dalam kasus-kasus kompleks, termasuk perhitungan deret tak hingga dan masalah pertumbuhan populasi. Pemahaman yang kuat terhadap Barisan Geometri akan membuka pintu menuju pemecahan masalah yang melibatkan penggandaan atau penyusutan yang konsisten.

I. Memahami Konsep Dasar Barisan Geometri

Definisi Barisan Geometri

Barisan Geometri (BG), atau sering juga disebut barisan ukur, adalah susunan bilangan di mana perbandingan antara suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Perbandingan yang konstan ini dikenal sebagai Rasio (r).

Perbedaan mendasar dengan Barisan Aritmetika (BA) adalah: jika BA menggunakan penjumlahan atau pengurangan yang konstan (beda), maka BG menggunakan perkalian atau pembagian yang konstan (rasio).

Secara umum, sebuah barisan $U_1, U_2, U_3, \dots, U_n$ disebut Barisan Geometri jika:

$$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \dots = \frac{U_n}{U_{n-1}} = r $$

Komponen Utama Barisan Geometri

Mari kita ilustrasikan proses pembentukan suku dalam Barisan Geometri menggunakan visualisasi alur perkalian.

Diagram alir pembentukan suku barisan geometri, menunjukkan U1 dikali r menghasilkan U2, U2 dikali r menghasilkan U3, dan seterusnya.

Rumus Suku ke-n (U_n)

Dengan mengetahui suku pertama (a) dan rasio (r), kita dapat mencari nilai suku ke-n dari barisan geometri. Penurunan rumus ini bersifat eksponensial:

Pola yang terbentuk menunjukkan bahwa pangkat dari r selalu kurang satu dari nomor suku (n-1). Sehingga, rumus umum suku ke-n adalah:

Rumus Suku ke-n Barisan Geometri: $$ U_n = a \cdot r^{n-1} $$

Di mana:

II. Derivasi Mendalam dan Analisis Rasio (r)

Menentukan Rasio (r) dari Dua Suku Acak

Dalam kasus di mana suku pertama (a) tidak diketahui, namun kita memiliki dua suku acak, $U_p$ dan $U_q$ (dengan $q > p$), kita dapat menentukan rasio $r$ dengan membagi kedua rumus suku tersebut:

Diketahui:

$$ U_q = a \cdot r^{q-1} \quad \text{dan} \quad U_p = a \cdot r^{p-1} $$

Membagi $U_q$ dengan $U_p$:

$$ \frac{U_q}{U_p} = \frac{a \cdot r^{q-1}}{a \cdot r^{p-1}} $$

Suku $a$ akan saling menghilangkan:

$$ \frac{U_q}{U_p} = r^{(q-1) - (p-1)} $$ $$ \frac{U_q}{U_p} = r^{q - p} $$

Sehingga, rasio dapat dicari dengan:

Rumus Rasio dari Dua Suku Acak: $$ r = \sqrt[q-p]{\frac{U_q}{U_p}} $$

Rumus ini sangat fundamental dalam pemecahan soal tipe lanjutan di mana hanya diketahui beberapa suku non-berurutan.

Pengaruh Nilai Rasio (r)

Karakteristik pertumbuhan barisan geometri sepenuhnya bergantung pada nilai rasio $r$. Analisis ini penting untuk memprediksi perilaku barisan tersebut:

Pemahaman mengenai sifat rasio ini akan menjadi kunci utama ketika kita membahas Deret Geometri Tak Hingga.

III. Sifat-Sifat Khusus Barisan Geometri

A. Suku Tengah (U_t)

Jika sebuah Barisan Geometri memiliki jumlah suku ganjil, maka kita dapat menemukan Suku Tengah ($U_t$). Posisi suku tengah, $t$, adalah $(n+1)/2$.

Suku tengah memiliki sifat unik, yaitu kuadrat dari suku tengah sama dengan hasil kali suku-suku yang berjarak sama darinya. Khususnya, kuadrat suku tengah sama dengan hasil kali suku pertama ($a$) dan suku terakhir ($U_n$):

$$ U_t^2 = U_1 \cdot U_n $$

atau secara umum:

$$ U_t^2 = U_{t-k} \cdot U_{t+k} $$

Contoh Penerapan Suku Tengah:

Diberikan barisan 3, 6, 12, 24, 48. (5 suku). Suku tengahnya adalah $U_3 = 12$.

Cek: $U_3^2 = 12^2 = 144$.

Hasil kali $U_1$ dan $U_5$: $3 \times 48 = 144$. (Terbukti)

Hasil kali $U_2$ dan $U_4$: $6 \times 24 = 144$. (Terbukti)

B. Sisipan Barisan Geometri

Proses sisipan (interpolation) adalah menyisipkan sejumlah $k$ bilangan di antara dua suku, $X$ dan $Y$, sehingga terbentuk Barisan Geometri yang baru.

Jika kita menyisipkan $k$ bilangan di antara $X$ dan $Y$, maka:

Kita dapat mencari rasio baru ($r'$) dengan menggunakan rumus $U_n = a \cdot r^{n-1}$.

$$ Y = X \cdot (r')^{k+2-1} $$ $$ Y = X \cdot (r')^{k+1} $$

Sehingga, rumus rasio baru setelah penyisipan $k$ suku adalah:

Rumus Rasio Setelah Sisipan: $$ r' = \sqrt[k+1]{\frac{Y}{X}} $$

Proses sisipan ini sering digunakan dalam masalah pertumbuhan diskrit yang ingin diperhalus menjadi langkah-langkah yang lebih kecil.

IV. Deret Geometri (Jumlah Suku)

Berbeda dengan barisan yang merupakan susunan bilangan, Deret Geometri (DG) adalah hasil penjumlahan dari suku-suku pada Barisan Geometri. Notasi yang digunakan untuk Deret Geometri adalah $S_n$.

$$ S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_n $$ $$ S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} $$

Penurunan Rumus Jumlah $n$ Suku Pertama ($S_n$)

Penurunan rumus $S_n$ sangat elegan dan sering menjadi topik ujian karena melibatkan manipulasi aljabar yang cerdas. Kita mulai dengan dua persamaan dasar:

Persamaan (1): Tuliskan $S_n$ secara lengkap.

$$ S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-2} + ar^{n-1} $$

Persamaan (2): Kalikan Persamaan (1) dengan rasio $r$.

$$ r \cdot S_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} + ar^n $$

Langkah 3: Kurangkan Persamaan (2) dari Persamaan (1). Perhatikan bahwa semua suku di tengah akan saling menghilangkan.

$$ S_n - r \cdot S_n = (a) + (ar - ar) + (ar^2 - ar^2) + \dots + (ar^{n-1} - ar^{n-1}) - (ar^n) $$ $$ S_n (1 - r) = a - ar^n $$ $$ S_n (1 - r) = a (1 - r^n) $$

Langkah 4: Isolasi $S_n$.

Rumus ini harus dibedakan menjadi dua kasus, tergantung pada nilai $r$, meskipun secara matematis keduanya ekuivalen:

Rumus Deret Geometri (Jumlah $n$ Suku Pertama $S_n$):

Kasus 1: Untuk $r < 1$ (Biasanya rasio pecahan):

$$ S_n = \frac{a (1 - r^n)}{1 - r} $$

Kasus 2: Untuk $r > 1$ (Biasanya rasio bilangan bulat):

$$ S_n = \frac{a (r^n - 1)}{r - 1} $$

Menggunakan rumus yang tepat (Kasus 1 atau Kasus 2) membantu menghindari hasil negatif pada penyebut, meskipun hasil akhir akan tetap sama.

Kasus Khusus: Deret Geometri Tak Hingga ($S_{\infty}$)

Deret Geometri Tak Hingga adalah penjumlahan suku-suku Barisan Geometri yang terus berlanjut tanpa batas ($n \to \infty$). Tidak semua deret tak hingga memiliki jumlah yang pasti; mereka hanya memiliki jumlah yang pasti jika bersifat Konvergen.

Syarat Kekonvergenan: Deret Geometri Tak Hingga hanya konvergen (memiliki jumlah) jika nilai mutlak rasionya kurang dari satu.

$$ |r| < 1 \quad \text{atau} \quad -1 < r < 1 $$

Jika $|r| \ge 1$, deret tersebut akan Divergen (nilainya menuju tak terhingga, $\infty$).

Untuk menurunkan rumus $S_{\infty}$, kita kembali ke rumus $S_n$ untuk $r < 1$:

$$ S_n = \frac{a (1 - r^n)}{1 - r} $$

Ketika $n \to \infty$ dan $|r| < 1$, nilai $r^n$ akan mendekati nol ($r^n \to 0$).

$$ S_{\infty} = \lim_{n \to \infty} \frac{a (1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a (1 - 0)}{1 - r} $$
Rumus Deret Geometri Tak Hingga Konvergen: $$ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} $$

Pemisahan Deret Geometri Tak Hingga

Dalam soal-soal tingkat lanjut, sering diminta untuk memisahkan jumlah deret tak hingga menjadi jumlah suku ganjil ($S_{\text{ganjil}}$) dan jumlah suku genap ($S_{\text{genap}}$).

Perhatikan bahwa $S_{\text{ganjil}} + S_{\text{genap}} = \frac{a + ar}{1 - r^2} = \frac{a(1+r)}{(1-r)(1+r)} = \frac{a}{1-r} = S_{\infty}$. Hal ini membuktikan konsistensi rumus tersebut.

V. Aplikasi Barisan dan Deret Geometri dalam Kehidupan Nyata

Konsep Barisan Geometri jauh melampaui perhitungan buku teks. Mereka adalah fondasi untuk memahami proses yang melibatkan pertumbuhan eksponensial, peluruhan, atau penggandaan yang konsisten. Berikut adalah beberapa aplikasi penting.

A. Masalah Kenaikan Populasi dan Biologi

Pertumbuhan populasi bakteri atau virus sering kali mengikuti model Barisan Geometri, di mana populasi berlipat ganda setiap periode waktu tertentu (misalnya, setiap jam). Rasio $r$ adalah faktor penggandaan tersebut.

Contoh 1: Pertumbuhan Bakteri

Sejumlah 500 bakteri ditempatkan di sebuah medium. Setiap 20 menit, populasi bakteri berlipat ganda menjadi tiga kali lipat. Berapa jumlah bakteri setelah 2 jam?

  • $a$ (Suku awal) = 500
  • $r$ (Rasio) = 3 (lipat ganda)
  • Total waktu = 2 jam = 120 menit.
  • Interval waktu = 20 menit.
  • Jumlah periode pertumbuhan ($n-1$) = $120 / 20 = 6$ periode.
  • Kita mencari $U_{n}$ di mana $n=7$ (Suku ke-7, karena $n-1=6$).

Perhitungan:

$$ U_7 = a \cdot r^{7-1} = 500 \cdot 3^6 $$ $$ U_7 = 500 \cdot 729 $$ $$ U_7 = 364.500 $$

Jumlah bakteri setelah 2 jam adalah 364.500.

B. Masalah Bunga Majemuk (Compound Interest)

Bunga majemuk adalah aplikasi ekonomi paling penting dari Barisan Geometri. Modal awal bertambah berdasarkan persentase bunga, dan pada periode berikutnya, bunga dihitung dari modal baru (modal awal + bunga sebelumnya).

Jika $M_0$ adalah modal awal, $i$ adalah suku bunga per periode, maka modal pada akhir periode ke-$n$ ($M_n$) adalah:

$$ M_n = M_0 (1 + i)^n $$

Ini adalah Barisan Geometri dengan suku pertama $M_0(1+i)$ (modal setelah periode 1) dan rasio $r = (1+i)$.

C. Masalah Bola Memantul (Deret Tak Hingga)

Masalah klasik di mana sebuah bola dijatuhkan dan memantul kembali dengan ketinggian tertentu (misalnya, 3/4 dari ketinggian sebelumnya) adalah contoh sempurna Deret Geometri Tak Hingga.

Ilustrasi lintasan bola memantul, di mana setiap pantulan memiliki ketinggian yang semakin menurun, menunjukkan konvergensi deret geometri tak hingga.

Total lintasan yang ditempuh bola hingga berhenti adalah Deret Geometri yang terdiri dari dua bagian:

$$ S_{\text{total}} = H_{\text{awal}} + S_{\text{turun}} + S_{\text{naik}} $$

Di mana $S_{\text{turun}}$ (setelah pantulan pertama) dan $S_{\text{naik}}$ (sebelum pantulan terakhir) membentuk dua deret geometri tak hingga terpisah.

Contoh 2: Lintasan Bola Memantul

Bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap kali memantul, ia mencapai ketinggian 4/5 dari ketinggian sebelumnya. Hitung total lintasan yang ditempuh bola hingga berhenti.

  • Ketinggian Awal ($H$) = 10 m
  • Rasio ($r$) = 4/5

Langkah 1: Menghitung jarak turun (kecuali jatuhan awal $H$) dan jarak naik.

Jarak setelah pantulan pertama adalah $10 \times (4/5) = 8$ m. Deret naik dan deret turun (setelah pantulan pertama) adalah sama: $8, 6.4, 5.12, \dots$

Langkah 2: Menghitung total jarak naik ($S_{\text{naik}}$).

Ini adalah Deret Geometri Tak Hingga dengan $a = 8$ m dan $r = 4/5$.

$$ S_{\text{naik}} = \frac{a}{1 - r} = \frac{8}{1 - 4/5} = \frac{8}{1/5} = 40 \text{ meter} $$

Langkah 3: Menghitung total jarak turun ($S_{\text{turun}}$).

Jarak turun mencakup $H=10$ m dan semua jarak turun berikutnya yang sama dengan jarak naik ($S_{\text{naik}}$).

$$ S_{\text{turun}} = 10 + 40 = 50 \text{ meter} $$

Langkah 4: Menghitung total lintasan.

$$ S_{\text{total}} = S_{\text{turun}} + S_{\text{naik}} = 50 + 40 = 90 \text{ meter} $$

Total lintasan yang ditempuh bola adalah 90 meter.

Cara Cepat (Alternatif): Untuk kasus bola memantul, jika rasio $r=p/q$, maka total lintasan adalah:

$$ S_{\text{total}} = H \cdot \frac{q+p}{q-p} $$ $$ S_{\text{total}} = 10 \cdot \frac{5+4}{5-4} = 10 \cdot \frac{9}{1} = 90 \text{ meter} $$

VI. Latihan Soal dan Analisis Pemecahan Masalah

Untuk menguasai Barisan Geometri, kita harus mampu menyelesaikan berbagai tipe soal yang menggabungkan $U_n$, $S_n$, dan hubungan antar suku. Berikut adalah analisis mendalam terhadap beberapa tipe soal lanjutan.

Tipe Soal 1: Mencari Suku ke-n dengan Hubungan Antar Suku

Soal Lanjutan 1:

Diketahui Barisan Geometri di mana suku ke-3 adalah 18 dan suku ke-6 adalah 486. Tentukan suku ke-8 dari barisan tersebut.

Langkah 1: Tuliskan informasi yang diketahui dalam bentuk rumus.

  • $U_3 = a \cdot r^{3-1} \implies a r^2 = 18$ (Persamaan A)
  • $U_6 = a \cdot r^{6-1} \implies a r^5 = 486$ (Persamaan B)

Langkah 2: Cari rasio (r) menggunakan perbandingan.

Bagi Persamaan B dengan Persamaan A:

$$ \frac{U_6}{U_3} = \frac{a r^5}{a r^2} = r^{5-2} $$ $$ r^3 = \frac{486}{18} $$ $$ r^3 = 27 $$ $$ r = 3 $$

Langkah 3: Cari suku pertama (a) menggunakan Persamaan A.

$$ a r^2 = 18 $$ $$ a (3)^2 = 18 $$ $$ 9a = 18 $$ $$ a = 2 $$

Langkah 4: Hitung suku ke-8 ($U_8$).

$$ U_8 = a \cdot r^{8-1} = 2 \cdot 3^7 $$ $$ U_8 = 2 \cdot 2187 $$ $$ U_8 = 4374 $$

Suku ke-8 dari barisan tersebut adalah 4374.

Tipe Soal 2: Menghitung Deret yang Melibatkan Variabel

Soal Lanjutan 2:

Jumlah $n$ suku pertama suatu deret geometri dinyatakan dengan $S_n = 3 \cdot 2^{n+1} - 6$. Tentukan nilai suku pertama ($U_1$) dan rasio ($r$).

Langkah 1: Cari suku pertama (U_1).

Suku pertama adalah jumlah satu suku ($S_1$).

$$ U_1 = S_1 = 3 \cdot 2^{1+1} - 6 $$ $$ S_1 = 3 \cdot 2^2 - 6 = 3 \cdot 4 - 6 = 12 - 6 = 6 $$ $$ U_1 = 6 $$

Langkah 2: Cari jumlah dua suku pertama (S_2).

$$ S_2 = 3 \cdot 2^{2+1} - 6 $$ $$ S_2 = 3 \cdot 2^3 - 6 = 3 \cdot 8 - 6 = 24 - 6 = 18 $$

Langkah 3: Cari suku kedua (U_2).

Suku ke-2 adalah selisih antara jumlah dua suku dan suku pertama: $U_2 = S_2 - S_1$.

$$ U_2 = 18 - 6 = 12 $$

Langkah 4: Cari rasio (r).

$$ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{12}{6} = 2 $$

Suku pertama adalah 6 dan rasio adalah 2.

Tipe Soal 3: Penerapan Deret Geometri Tak Hingga dalam Bentuk Persamaan

Deret Geometri Tak Hingga sering digunakan untuk mengubah bilangan desimal berulang menjadi pecahan rasional (a/b).

Soal Lanjutan 3:

Nyatakan bilangan desimal berulang $0,4444\dots$ menjadi bentuk pecahan rasional.

Langkah 1: Uraikan bilangan desimal menjadi deret penjumlahan.

$$ 0,4444\dots = 0,4 + 0,04 + 0,004 + 0,0004 + \dots $$ $$ 0,4444\dots = \frac{4}{10} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \frac{4}{10000} + \dots $$

Langkah 2: Identifikasi komponen Deret Geometri Tak Hingga.

  • Suku pertama ($a$) = $\frac{4}{10}$
  • Rasio ($r$) = $\frac{U_2}{U_1} = \frac{4/100}{4/10} = \frac{4}{100} \cdot \frac{10}{4} = \frac{1}{10}$

Langkah 3: Hitung jumlah Deret Tak Hingga.

$$ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} $$ $$ S_{\infty} = \frac{4/10}{1 - 1/10} = \frac{4/10}{9/10} $$ $$ S_{\infty} = \frac{4}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{4}{9} $$

Jadi, $0,4444\dots$ sama dengan pecahan rasional $4/9$.

Tipe Soal 4: Gabungan Rasio Negatif dan Konvergensi

Soal Lanjutan 4:

Diketahui suatu Deret Geometri Tak Hingga: $27, -9, 3, -1, \dots$. Tentukan jumlah tak hingga deret tersebut.

Langkah 1: Identifikasi suku pertama (a) dan rasio (r).

  • $a = 27$
  • $r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{-9}{27} = -\frac{1}{3}$

Karena $|r| = |-1/3| = 1/3 < 1$, deret ini konvergen dan memiliki jumlah.

Langkah 2: Gunakan rumus $S_{\infty}$.

$$ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} $$ $$ S_{\infty} = \frac{27}{1 - (-1/3)} $$ $$ S_{\infty} = \frac{27}{1 + 1/3} = \frac{27}{4/3} $$ $$ S_{\infty} = 27 \cdot \frac{3}{4} = \frac{81}{4} $$

Jumlah tak hingga deret tersebut adalah $81/4$ atau $20.25$. Perhatikan bagaimana suku-suku positif dan negatif saling menghilangkan, menyebabkan jumlah akhirnya jauh lebih kecil daripada suku pertamanya.

VII. Perbandingan Komprehensif: Barisan Geometri vs. Barisan Aritmetika

Meskipun Barisan Geometri (BG) dan Barisan Aritmetika (BA) sama-sama merupakan pola bilangan berurutan, mekanisme yang mendasarinya sangat berbeda. Memahami perbedaannya sangat penting agar tidak salah dalam memilih rumus pemecahan masalah.

Tabel Perbandingan Konsep

Aspek Barisan Aritmetika (BA) Barisan Geometri (BG)
Pola Dasar Penambahan/Pengurangan konstan Perkalian/Pembagian konstan
Pembeda Konstan Beda ($b$): $U_n - U_{n-1}$ Rasio ($r$): $U_n / U_{n-1}$
Rumus Suku ke-n ($U_n$) $U_n = a + (n-1)b$ (Linier) $U_n = a \cdot r^{n-1}$ (Eksponensial)
Rumus Jumlah ($S_n$) $S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)$ $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$
Suku Tengah ($U_t$) $U_t = \frac{U_1 + U_n}{2}$ $U_t^2 = U_1 \cdot U_n$
Pertumbuhan Pertumbuhan konstan (tetap) Pertumbuhan eksponensial (melaju cepat)
Deret Tak Hingga Selalu Divergen (Tidak Terdefinisi) Bisa Konvergen (Jika $|r| < 1$)

Perbedaan paling signifikan terletak pada sifat pertumbuhannya. BA menciptakan garis lurus (fungsi linier), sementara BG menciptakan kurva pertumbuhan yang curam (fungsi eksponensial). Inilah sebabnya mengapa BG digunakan dalam konteks bunga majemuk atau peluruhan radioaktif, di mana perubahan tergantung pada besaran saat ini.

VIII. Optimasi dan Analisis Lanjutan Barisan Geometri

Bagian ini membahas skenario yang memerlukan pemecahan masalah yang lebih kompleks, sering muncul dalam kompetisi matematika atau soal masuk perguruan tinggi.

Masalah 5: Kombinasi Aritmetika dan Geometri

Seringkali, masalah melibatkan tiga suku yang memenuhi syarat BA sekaligus BG, atau barisan yang berubah dari BA ke BG.

Soal Gabungan:

Tiga bilangan $x-2$, $x$, dan $x+3$ membentuk Barisan Geometri. Tentukan nilai $x$.

Langkah 1: Gunakan sifat Rasio Konstan.

Karena ini adalah BG, rasio antara suku kedua dan pertama harus sama dengan rasio antara suku ketiga dan kedua.

$$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} $$ $$ \frac{x}{x-2} = \frac{x+3}{x} $$

Langkah 2: Lakukan perkalian silang.

$$ x \cdot x = (x-2)(x+3) $$ $$ x^2 = x^2 + 3x - 2x - 6 $$ $$ x^2 = x^2 + x - 6 $$

Langkah 3: Selesaikan untuk $x$.

Kurangi $x^2$ dari kedua sisi:

$$ 0 = x - 6 $$ $$ x = 6 $$

Verifikasi: Jika $x=6$, barisan tersebut adalah $6-2, 6, 6+3$, atau $4, 6, 9$.

  • Rasio: $6/4 = 1.5$
  • Rasio: $9/6 = 1.5$

Barisan tersebut adalah BG dengan rasio 1.5. Nilai $x$ adalah 6.

Masalah 6: Suku Tengah dan Jumlah Suku

Soal Suku Tengah Lanjut:

Sebuah Barisan Geometri terdiri dari lima suku. Hasil kali semua suku adalah 1024. Jika suku terakhir adalah 16 kali suku pertama, tentukan rasio barisan tersebut.

Langkah 1: Gunakan sifat Suku Tengah.

Jika ada 5 suku ($n=5$), suku tengahnya adalah $U_3$.

Hasil kali suku-suku ($P_n$) adalah:

$$ P_5 = U_1 \cdot U_2 \cdot U_3 \cdot U_4 \cdot U_5 $$

Menggunakan sifat simetri BG, $U_1 \cdot U_5 = U_2 \cdot U_4 = U_3^2$.

$$ P_5 = (U_1 U_5) \cdot (U_2 U_4) \cdot U_3 = U_3^2 \cdot U_3^2 \cdot U_3 = U_3^5 $$

Diketahui $P_5 = 1024$.

$$ U_3^5 = 1024 $$ $$ U_3 = \sqrt[5]{1024} = 4 $$

Jadi, suku tengah ($U_3$) adalah 4.

Langkah 2: Gunakan informasi suku pertama dan suku terakhir.

Diketahui $U_5 = 16 \cdot U_1$.

Kita juga tahu bahwa $U_3^2 = U_1 \cdot U_5$.

$$ 4^2 = U_1 \cdot (16 U_1) $$ $$ 16 = 16 U_1^2 $$ $$ U_1^2 = 1 $$

Karena suku barisan geometri biasanya positif, maka $U_1 = a = 1$.

Langkah 3: Cari Rasio (r).

Kita tahu $U_3 = a r^2$.

$$ 4 = 1 \cdot r^2 $$ $$ r^2 = 4 $$ $$ r = 2 \quad (\text{Asumsi } r > 0) $$

Rasio barisan tersebut adalah 2. Barisannya adalah: 1, 2, 4, 8, 16.

Masalah 7: Deret Tak Hingga dengan Pergeseran Indeks

Soal Pergeseran Indeks:

Jika jumlah semua suku Deret Geometri Tak Hingga adalah 24 dan jumlah suku-suku genapnya adalah 8. Tentukan rasio dan suku pertamanya.

Langkah 1: Tuliskan informasi yang diketahui dalam rumus $S_{\infty}$ dan $S_{\text{genap}}$.

  • Total Jumlah ($S_{\infty}$) = 24
  • Jumlah Suku Genap ($S_{\text{genap}}$) = 8
$$ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = 24 \quad \text{(Persamaan C)} $$ $$ S_{\text{genap}} = \frac{ar}{1 - r^2} = 8 \quad \text{(Persamaan D)} $$

Langkah 2: Gunakan hubungan antara $S_{\infty}$ dan $S_{\text{genap}}$.

Kita ketahui bahwa $1 - r^2 = (1 - r)(1 + r)$. Substitusi ke Persamaan D:

$$ S_{\text{genap}} = \frac{ar}{(1 - r)(1 + r)} = \frac{a}{1 - r} \cdot \frac{r}{1 + r} $$

Substitusikan Persamaan C ($S_{\infty} = 24$) ke dalam persamaan ini:

$$ 8 = 24 \cdot \frac{r}{1 + r} $$

Langkah 3: Selesaikan untuk Rasio (r).

$$ \frac{8}{24} = \frac{r}{1 + r} $$ $$ \frac{1}{3} = \frac{r}{1 + r} $$ $$ 1(1 + r) = 3r $$ $$ 1 + r = 3r $$ $$ 1 = 2r $$ $$ r = \frac{1}{2} $$

Langkah 4: Cari Suku Pertama (a) menggunakan Persamaan C.

$$ \frac{a}{1 - r} = 24 $$ $$ \frac{a}{1 - 1/2} = 24 $$ $$ \frac{a}{1/2} = 24 $$ $$ 2a = 24 $$ $$ a = 12 $$

Suku pertama adalah 12 dan rasio adalah 1/2. (Deretnya: 12, 6, 3, 1.5, ...)

IX. Analisis Kasus-Kasus Spesifik Deret Geometri

Barisan Geometri tidak selalu hanya tentang bilangan bulat atau pecahan sederhana. Seringkali, soal melibatkan bentuk-bentuk aljabar, akar, atau bahkan logaritma yang tersusun dalam pola geometri.

Kasus 8: Barisan Geometri dengan Suku Berbentuk Eksponen

Perhatikan barisan berikut: $2^x, 2^{3x-1}, 2^{5x-2}, \dots$ Jika barisan ini adalah Barisan Geometri, tentukan rasio ($r$) dalam $x$.

Langkah 1: Gunakan sifat Rasio Konstan.

$$ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{2^{3x-1}}{2^x} $$

Menggunakan sifat eksponen ($a^m / a^n = a^{m-n}$):

$$ r = 2^{(3x-1) - x} = 2^{2x-1} $$

Langkah 2: Verifikasi menggunakan $U_3/U_2$.

$$ r = \frac{U_3}{U_2} = \frac{2^{5x-2}}{2^{3x-1}} $$ $$ r = 2^{(5x-2) - (3x-1)} = 2^{5x - 2 - 3x + 1} $$ $$ r = 2^{2x-1} $$

Karena rasio yang diperoleh sama, barisan tersebut memang Barisan Geometri dengan $r = 2^{2x-1}$. Pemahaman tentang sifat eksponen sangat krusial di sini.

Kasus 9: Penggunaan Logaritma dalam Barisan Geometri

Jika $\log a, \log b, \log c$ membentuk Barisan Aritmetika, maka $a, b, c$ membentuk Barisan Geometri. Ini adalah hubungan penting yang menjembatani kedua jenis barisan.

Soal Logaritma:

Tiga bilangan $a, b, c$ membentuk Barisan Geometri. Jika $a+b+c=14$ dan $a \cdot b \cdot c = 64$, tentukan ketiga bilangan tersebut.

Langkah 1: Gunakan Suku Tengah pada perkalian.

Karena $a, b, c$ adalah BG, $b$ adalah suku tengah. Sifat suku tengah menyatakan $b^2 = a \cdot c$.

Diketahui $a \cdot b \cdot c = 64$. Kita substitusikan $a \cdot c = b^2$:

$$ (b^2) \cdot b = 64 $$ $$ b^3 = 64 $$ $$ b = 4 $$

Suku tengah $b$ adalah 4.

Langkah 2: Sederhanakan persamaan penjumlahan.

Substitusikan $b=4$ ke $a+b+c=14$:

$$ a + 4 + c = 14 $$ $$ a + c = 10 \quad \implies \quad c = 10 - a $$

Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan.

Kita tahu $a \cdot c = b^2 = 16$. Substitusikan $c = 10 - a$:

$$ a (10 - a) = 16 $$ $$ 10a - a^2 = 16 $$ $$ a^2 - 10a + 16 = 0 $$ $$ (a - 2)(a - 8) = 0 $$

Sehingga, $a=2$ atau $a=8$.

Langkah 4: Tentukan barisan.

Jika $a=2$, maka $c = 10 - 2 = 8$. Barisan: 2, 4, 8 (rasio $r=2$).

Jika $a=8$, maka $c = 10 - 8 = 2$. Barisan: 8, 4, 2 (rasio $r=1/2$).

Kedua barisan tersebut memenuhi syarat. Ketiga bilangan tersebut adalah 2, 4, dan 8.

X. Kesimpulan dan Poin Kunci

Barisan Geometri adalah salah satu konsep terkuat dalam matematika, mencerminkan proses pertumbuhan eksponensial yang ada di alam semesta, mulai dari fisika, biologi, hingga keuangan. Penguasaan Barisan Geometri, Deret Geometri, dan terutama Deret Geometri Tak Hingga, adalah prasyarat penting untuk pemahaman aljabar yang lebih tinggi.

Poin-poin kunci yang harus selalu diingat saat berhadapan dengan Barisan Geometri:

Dengan melatih diri melalui berbagai tipe soal, mulai dari yang dasar hingga kasus-kasus gabungan yang melibatkan aljabar dan logaritma, Anda akan mampu mengidentifikasi dan menyelesaikan masalah Barisan Geometri dalam konteks akademik maupun praktis. Konsep ini adalah landasan penting menuju penguasaan matematika yang lebih komprehensif.

Related Posts

🏠 Homepage