Pengantar Konsep Barisan Bilangan
Matematika adalah ilmu tentang pola, dan barisan bilangan adalah salah satu manifestasi pola yang paling mendasar. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemukan angka-angka yang tersusun dengan keteraturan tertentu, mulai dari penataan kursi di gedung bioskop, pertumbuhan bakteri, hingga perhitungan bunga tabungan. Memahami barisan bilangan tidak hanya penting untuk nilai di sekolah, tetapi juga untuk melatih kemampuan berpikir logis dan analitis.
Secara definisi, sebuah barisan bilangan adalah susunan bilangan yang dibentuk berdasarkan suatu aturan atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam susunan tersebut disebut sebagai suku dari barisan tersebut, yang dilambangkan dengan U (dari kata Unit atau Suku). Barisan ini diurutkan berdasarkan indeks: suku pertama (U₁), suku kedua (U₂), suku ketiga (U₃), dan seterusnya hingga suku ke-n (Uₙ).
Gambar 1: Ilustrasi Dasar Barisan Bilangan.
Perbedaan Kunci: Barisan vs. Deret
Meskipun sering digunakan bersamaan, penting untuk membedakan antara barisan (sequence) dan deret (series):
- Barisan (Sequence): Kumpulan bilangan yang dipisahkan oleh koma. Fokusnya adalah pada nilai setiap suku (Uₙ) dan polanya. Contoh: 3, 6, 9, 12, ...
- Deret (Series): Hasil penjumlahan dari suku-suku dalam sebuah barisan. Fokusnya adalah pada jumlah total (Sₙ). Contoh: 3 + 6 + 9 + 12 + ...
Materi inti barisan bilangan kelas 8 SMP difokuskan pada dua jenis utama: Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri.
Barisan Aritmetika (Barisan Hitung)
Barisan aritmetika adalah jenis barisan di mana selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap atau konstan. Selisih konstan ini disebut beda, dilambangkan dengan huruf b.
1. Menentukan Beda (b)
Beda (b) dapat ditemukan dengan mengurangkan suku setelahnya dengan suku sebelumnya:
b = U₂ - U₁
b = U₃ - U₂
b = Uₙ - Uₙ₋₁
Jika beda (b) bernilai positif, barisan tersebut akan naik (bertambah). Jika beda bernilai negatif, barisan tersebut akan turun (berkurang).
2. Rumus Suku ke-n (Uₙ) Barisan Aritmetika
Untuk menemukan suku ke-n tanpa harus menghitung seluruh suku sebelumnya, kita menggunakan rumus umum. Mari kita turunkan rumus ini, di mana a adalah suku pertama (U₁).
- U₁ = a
- U₂ = a + b
- U₃ = U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b
- U₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b
Dari pola di atas, kita lihat bahwa koefisien b selalu satu kurangnya dari nomor suku (n). Oleh karena itu, rumus umum suku ke-n adalah:
Di mana:
- Uₙ = Suku ke-n yang dicari
- a = Suku pertama (U₁)
- n = Urutan suku
- b = Beda atau selisih antar suku
3. Contoh Soal Mendalam Barisan Aritmetika
Contoh Aritmetika 1: Menghitung Suku Jauh
Tentukan suku ke-40 dari barisan bilangan: 5, 8, 11, 14, ...
Langkah 1: Identifikasi Komponen
Suku pertama (a) = 5.
Beda (b) = U₂ - U₁ = 8 - 5 = 3.
Suku yang dicari (n) = 40.
Langkah 2: Substitusi ke Rumus Uₙ
$$U_n = a + (n - 1)b$$
$$U_{40} = 5 + (40 - 1)3$$
$$U_{40} = 5 + (39)3$$
$$U_{40} = 5 + 117$$
Langkah 3: Hasil Akhir
$$U_{40} = 122$$
Jadi, suku ke-40 dari barisan tersebut adalah 122.
Contoh Aritmetika 2: Menentukan Urutan Suku (Mencari n)
Diketahui barisan aritmetika 100, 95, 90, 85, .... Bilangan -50 merupakan suku ke berapa dari barisan ini?
Langkah 1: Identifikasi Komponen
a = 100.
b = 95 - 100 = -5 (Barisan ini menurun).
Uₙ = -50 (Nilai suku yang diketahui).
n = ? (Yang dicari).
Langkah 2: Substitusi dan Manipulasi Aljabar
$$U_n = a + (n - 1)b$$
$$-50 = 100 + (n - 1)(-5)$$
Langkah 3: Penyelesaian Persamaan
$$-50 - 100 = -5(n - 1)$$
$$-150 = -5n + 5$$
$$-150 - 5 = -5n$$
$$-155 = -5n$$
$$n = \frac{-155}{-5}$$
$$n = 31$$
Jadi, bilangan -50 adalah suku ke-31.
4. Kasus Khusus: Barisan Aritmetika yang Diketahui Dua Suku Tengah
Seringkali, kita hanya diberikan dua suku acak dalam barisan, misalnya U₅ = 18 dan U₁₀ = 38. Untuk menyelesaikan ini, kita menggunakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) untuk menemukan a dan b.
- Persamaan I (dari U₅): a + 4b = 18
- Persamaan II (dari U₁₀): a + 9b = 38
Dengan mengurangkan Persamaan I dari Persamaan II (metode eliminasi a):
$$(a + 9b) - (a + 4b) = 38 - 18$$
$$5b = 20$$
$$b = 4$$
Substitusikan b = 4 ke Persamaan I:
$$a + 4(4) = 18$$
$$a + 16 = 18$$
$$a = 2$$
Setelah menemukan a = 2 dan b = 4, kita bisa mencari suku apa pun, misalnya U₂₀:
$$U_{20} = a + 19b = 2 + 19(4) = 2 + 76 = 78.$$
Deret Aritmetika (Penjumlahan Suku)
Deret aritmetika adalah hasil penjumlahan suku-suku pada barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dilambangkan dengan Sₙ. Jadi, Sₙ = U₁ + U₂ + U₃ + ... + Uₙ.
1. Penurunan Rumus Jumlah Suku (Sₙ)
Konsep ini pertama kali ditemukan oleh matematikawan muda Karl Friedrich Gauss. Ia menemukan bahwa jika kita menjumlahkan suku pertama dengan suku terakhir, hasilnya akan sama dengan penjumlahan suku kedua dengan suku kedua terakhir, dan seterusnya.
Misalnya, kita ingin menjumlahkan deret 1 + 2 + 3 + ... + 100.
$$S_{100} = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100$$
Tuliskan kembali deret dalam urutan terbalik:
$$S_{100} = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1$$
Jumlahkan kedua persamaan suku demi suku:
$$2S_{100} = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (100 + 1)$$
Setiap pasangan menghasilkan 101, dan ada 100 pasangan.
$$2S_{100} = 100 \times 101$$
$$S_{100} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$$
Secara umum, karena ada n suku dan setiap pasangan berjumlah U₁ + Uₙ, maka rumus jumlah n suku pertama adalah:
Atau, jika kita substitusikan Uₙ = a + (n - 1)b, kita dapatkan rumus yang hanya melibatkan a dan b:
2. Contoh Soal Aplikasi Deret Aritmetika
Contoh Deret 1: Menghitung Total Kursi di Bioskop
Sebuah aula bioskop memiliki 15 baris kursi. Baris pertama memiliki 20 kursi, baris kedua 23 kursi, baris ketiga 26 kursi, dan seterusnya. Berapakah total kapasitas kursi di aula tersebut?
Langkah 1: Identifikasi Barisan
a = 20, n = 15, b = 23 - 20 = 3.
Langkah 2: Gunakan Rumus Sₙ kedua
$$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)b)$$
$$S_{15} = \frac{15}{2} (2(20) + (15 - 1)3)$$
$$S_{15} = 7.5 (40 + (14)3)$$
$$S_{15} = 7.5 (40 + 42)$$
$$S_{15} = 7.5 (82)$$
$$S_{15} = 615$$
Total kapasitas kursi di aula tersebut adalah 615 kursi.
Contoh Deret 2: Hubungan Uₙ dan Sₙ
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika diberikan oleh rumus Sₙ = 3n² + 4n. Tentukan suku ke-5 (U₅) dari deret tersebut.
Konsep Kunci: Suku ke-n adalah selisih antara jumlah n suku pertama dengan jumlah n-1 suku pertama.
Langkah 1: Cari Suku ke-5
$$S_5 = 3(5)^2 + 4(5) = 3(25) + 20 = 75 + 20 = 95$$
Langkah 2: Cari Suku ke-4
$$S_4 = 3(4)^2 + 4(4) = 3(16) + 16 = 48 + 16 = 64$$
Langkah 3: Hitung U₅
$$U_5 = S_5 - S_4 = 95 - 64 = 31$$
Suku ke-5 dari deret tersebut adalah 31.
Barisan Geometri (Barisan Ukur)
Barisan geometri adalah barisan bilangan di mana perbandingan (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap atau konstan. Perbandingan konstan ini disebut rasio, dilambangkan dengan huruf r.
1. Menentukan Rasio (r)
Rasio (r) dapat ditemukan dengan membagi suku setelahnya dengan suku sebelumnya:
r = U₂ / U₁
r = U₃ / U₂
r = Uₙ / Uₙ₋₁
Rasio dapat berupa bilangan bulat, pecahan, positif, atau negatif. Jika |r| > 1, barisan akan membesar (divergen). Jika |r| < 1, barisan akan mengecil (konvergen).
2. Rumus Suku ke-n (Uₙ) Barisan Geometri
Sama seperti aritmetika, mari kita turunkan rumus suku ke-n, di mana a adalah suku pertama (U₁):
- U₁ = a
- U₂ = U₁ × r = a × r¹
- U₃ = U₂ × r = (a × r) × r = a × r²
- U₄ = U₃ × r = (a × r²) × r = a × r³
Dari pola di atas, kita lihat bahwa pangkat rasio (r) selalu satu kurangnya dari nomor suku (n). Oleh karena itu, rumus umum suku ke-n adalah:
3. Contoh Soal Barisan Geometri
Contoh Geometri 1: Menghitung Suku pada Pertumbuhan Eksponensial
Tentukan suku ke-8 dari barisan geometri: 2, 6, 18, 54, ...
Langkah 1: Identifikasi Komponen
Suku pertama (a) = 2.
Rasio (r) = U₂ / U₁ = 6 / 2 = 3.
Suku yang dicari (n) = 8.
Langkah 2: Substitusi ke Rumus Uₙ
$$U_n = a \cdot r^{n-1}$$
$$U_{8} = 2 \cdot 3^{8-1}$$
$$U_{8} = 2 \cdot 3^{7}$$
$$U_{8} = 2 \cdot 2187$$
Langkah 3: Hasil Akhir
$$U_{8} = 4374$$
Suku ke-8 dari barisan tersebut adalah 4374.
Contoh Geometri 2: Menentukan Rasio dan Suku Pertama dari Dua Suku Acak
Diketahui suku ke-3 barisan geometri adalah 45 dan suku ke-5 adalah 405. Tentukan suku pertama (a) dan rasio (r).
Langkah 1: Ubah Suku menjadi Persamaan Rasio
U₃ = a ⋅ r² = 45
U₅ = a ⋅ r⁴ = 405
Langkah 2: Eliminasi a dengan Pembagian
Untuk menemukan rasio, bagi suku yang lebih besar dengan suku yang lebih kecil:
$$\frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} = \frac{405}{45}$$
$$r^{4-2} = 9$$
$$r^2 = 9$$
$$r = 3$$ (Kita asumsikan rasio positif karena suku-suku positif).
Langkah 3: Cari Suku Pertama (a)
Gunakan persamaan U₃:
$$a \cdot r^2 = 45$$
$$a \cdot (3)^2 = 45$$
$$9a = 45$$
$$a = 5$$
Suku pertama adalah 5 dan rasio adalah 3.
Deret Geometri (Penjumlahan Deret Ukur)
Deret geometri adalah hasil penjumlahan suku-suku pada barisan geometri. Jumlah n suku pertama dilambangkan dengan Sₙ. Menghitung Sₙ pada deret geometri memiliki rumus yang sedikit lebih kompleks karena melibatkan eksponen.
1. Penurunan Rumus Jumlah Suku (Sₙ)
Deret geometri ditulis sebagai:
$$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1}$$ (Persamaan 1)
Kalikan Persamaan 1 dengan rasio (r):
$$rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \dots + ar^{n}$$ (Persamaan 2)
Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1. Perhatikan bahwa hampir semua suku di tengah akan saling menghilangkan (eliminasi parsial):
$$S_n - rS_n = (a + ar + \dots + ar^{n-1}) - (ar + ar^2 + \dots + ar^{n})$$
$$S_n - rS_n = a - ar^{n}$$
Faktorkan Sₙ di ruas kiri dan a di ruas kanan:
$$S_n(1 - r) = a(1 - r^{n})$$
Maka, kita mendapatkan rumus jumlah suku geometri:
Untuk r < 1 (rasio pecahan/desimal):
$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$Untuk r > 1 (rasio bilangan bulat positif):
$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$Catatan: Kedua rumus di atas sebenarnya identik. Penggunaan rumus r > 1 membantu menghindari hasil negatif di pembilang dan penyebut.
2. Contoh Soal Aplikasi Deret Geometri
Contoh Deret Geometri 1: Menghitung Jumlah
Hitunglah jumlah 6 suku pertama dari deret geometri: 3 + 6 + 12 + 24 + ...
Langkah 1: Identifikasi Komponen
a = 3.
n = 6.
r = 6 / 3 = 2. (Karena r > 1, kita gunakan rumus kedua)
Langkah 2: Substitusi ke Rumus Sₙ
$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$
$$S_{6} = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1}$$
$$S_{6} = \frac{3(64 - 1)}{1}$$
$$S_{6} = 3(63)$$
Langkah 3: Hasil Akhir
$$S_{6} = 189$$
Jumlah 6 suku pertama adalah 189.
Contoh Deret Geometri 2: Penerapan Bola Memantul (Konsep Dasar)
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setelah menyentuh lantai, bola memantul kembali setinggi \frac{3}{5} dari ketinggian sebelumnya. Hitunglah total panjang lintasan yang dilalui bola sampai pantulan kelima.
Analisis: Soal ini melibatkan dua deret: deret saat turun dan deret saat naik. Karena hanya ditanyakan sampai pantulan kelima, kita hanya menjumlahkan 5 kali pantulan naik dan 5 kali pantulan turun (ditambah ketinggian awal saat turun).
Ketinggian awal (a₀) = 10 m.
Rasio (r) = \frac{3}{5} = 0.6.
Lintasan Turun: 10 (awal) + 10(0.6) + 10(0.6)² + 10(0.6)³ + 10(0.6)⁴
Lintasan Naik: 10(0.6) + 10(0.6)² + 10(0.6)³ + 10(0.6)⁴ + 10(0.6)⁵
Karena total lintasan naik dan total lintasan turun (setelah pantulan pertama) sama, kita hitung deretnya sampai suku ke-5 dan kalikan dua, lalu tambahkan ketinggian awal.
Langkah 1: Hitung S₅ untuk deret pantulan (T₂ hingga T₆)
Deret pantulan dimulai dari U₁ = 10 \cdot 0.6 = 6. (Ini adalah ketinggian pantulan pertama).
$$S_5 = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{6(1 - (0.6)^5)}{1 - 0.6}$$
$$S_5 = \frac{6(1 - 0.07776)}{0.4}$$
$$S_5 = \frac{6(0.92224)}{0.4} = \frac{5.53344}{0.4} = 13.8336 \text{ meter}$$
Langkah 2: Hitung Total Lintasan
Total Lintasan = Ketinggian Awal (Turun) + 2 × (Jumlah Pantulan Naik/Turun)
$$Total = 10 + 2 \times 13.8336$$
$$Total = 10 + 27.6672 = 37.6672 \text{ meter}$$
Aplikasi Lanjutan dan Pola Bilangan Khusus
Di luar barisan aritmetika dan geometri standar, siswa kelas 8 juga diperkenalkan pada berbagai pola bilangan yang membentuk dasar matematika diskrit dan berguna dalam pemecahan masalah (problem-solving).
1. Pola Bilangan Segitiga
Pola bilangan segitiga dibentuk dengan menjumlahkan bilangan asli secara berurutan. Pola visualnya menghasilkan bentuk segitiga.
Barisan: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...
Rumus Suku ke-n (Uₙ) untuk bilangan segitiga:
Contoh: Suku ke-4 adalah \frac{4(4+1)}{2} = \frac{20}{2} = 10.
2. Pola Bilangan Persegi dan Persegi Panjang
- Bilangan Persegi (Kuadrat): Barisan bilangan yang dihasilkan dari perkalian bilangan asli dengan dirinya sendiri. Uₙ = n². (1, 4, 9, 16, 25, ...)
- Bilangan Persegi Panjang: Barisan yang dihasilkan dari perkalian bilangan asli n dengan bilangan asli setelahnya n+1. Uₙ = n(n + 1). (2, 6, 12, 20, 30, ...)
3. Barisan Fibonacci
Barisan Fibonacci adalah barisan yang unik karena polanya tidak bergantung pada beda atau rasio yang konstan, melainkan bergantung pada penjumlahan dua suku sebelumnya.
Barisan dimulai dari 1, 1 (atau 0, 1), dan suku berikutnya adalah jumlah dari dua suku sebelumnya.
Barisan: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Aturan: Uₙ = Uₙ₋₁ + Uₙ₋₂
Barisan Fibonacci banyak ditemukan dalam alam, mulai dari susunan biji bunga matahari, pola spiral cangkang kerang, hingga percabangan pohon.
Gambar 2: Visualisasi Pola Pertumbuhan Fibonacci.
4. Sisipan Suku pada Barisan Aritmetika
Kadang kala, kita perlu menyisipkan sejumlah bilangan (k) di antara dua suku berurutan (misalnya A dan B) dari barisan aritmetika lama, sehingga menghasilkan barisan aritmetika baru.
Jika A dan B adalah dua suku berurutan dari barisan lama, dan kita menyisipkan k buah bilangan, maka beda (b') pada barisan baru dapat dicari dengan rumus:
Contoh Sisipan Aritmetika
Di antara bilangan 10 dan 30 disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika baru. Tentukan beda barisan baru dan suku-suku barisan tersebut.
A = 10, B = 30, k = 4.
$$b' = \frac{30 - 10}{4 + 1} = \frac{20}{5} = 4$$
Beda barisan baru adalah 4.
Barisan baru: 10, (10+4), (14+4), (18+4), (22+4), 30
Barisan baru: 10, 14, 18, 22, 26, 30.
Simulasi dan Latihan Soal Komprehensif
Memahami rumus adalah langkah awal. Keterampilan sejati terletak pada kemampuan mengidentifikasi jenis barisan yang benar dan menerapkan rumus secara fleksibel dalam berbagai skenario masalah.
Simulasi Kasus 1: Gabungan Aritmetika dan Aljabar
Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 42 dan hasil perkalian bilangan pertama dan kedua adalah 108, tentukan ketiga bilangan tersebut.
Tips: Untuk 3 suku aritmetika berurutan, representasikan suku-suku sebagai: U₁ = x - b, U₂ = x, dan U₃ = x + b. Ini mempermudah perhitungan jumlah.
Langkah 1: Gunakan Informasi Jumlah
$$(x - b) + x + (x + b) = 42$$
$$3x = 42$$
$$x = 14$$
Maka, suku kedua (U₂) adalah 14.
Langkah 2: Gunakan Informasi Perkalian
Hasil kali suku pertama dan suku kedua adalah 108:
$$U₁ \cdot U₂ = 108$$
$$(x - b) \cdot x = 108$$
$$(14 - b) \cdot 14 = 108$$
Langkah 3: Cari Beda (b)
$$14 - b = \frac{108}{14} = \frac{54}{7}$$
$$b = 14 - \frac{54}{7} = \frac{98}{7} - \frac{54}{7}$$
$$b = \frac{44}{7}$$
Ketiga bilangan tersebut adalah:
U₁ = 14 - 44/7 = 54/7
U₂ = 14 = 98/7
U₃ = 14 + 44/7 = 142/7
*(Catatan: Jika soal mengharuskan bilangan bulat, maka harus ada faktor 14 di 108. Jika soal tidak membatasi bilangan bulat, perhitungan ini valid.)*
Jika kita asumsikan soal meminta solusi bilangan bulat, dan misalkan perkaliannya 192 (sehingga 192/14 sulit), atau 112 (112/14=8):
Asumsi: Perkalian = 112.
$$14 - b = \frac{112}{14} = 8$$
$$b = 14 - 8 = 6$$
Barisan (untuk kasus bulat): 8, 14, 20 (Jumlah = 42, 8*14=112).
Simulasi Kasus 2: Penerapan Barisan Geometri dalam Ekonomi
Seorang pengusaha mengalami peningkatan produksi setiap bulannya mengikuti pola barisan geometri. Produksi bulan kedua adalah 120 unit dan produksi bulan kelima adalah 960 unit. Tentukan jumlah total produksi dari bulan pertama hingga bulan ketujuh.
Langkah 1: Temukan Rasio (r)
U₂ = a ⋅ r¹ = 120
U₅ = a ⋅ r⁴ = 960
$$\frac{U_5}{U_2} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^1} = \frac{960}{120}$$
$$r^3 = 8$$
$$r = 2$$
Langkah 2: Temukan Suku Pertama (a)
U₂ = a ⋅ r = 120
a ⋅ 2 = 120
a = 60
Langkah 3: Hitung Jumlah 7 Suku Pertama (S₇)
Karena r = 2 > 1, gunakan rumus:
$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$
$$S_7 = \frac{60(2^7 - 1)}{2 - 1}$$
$$S_7 = 60(128 - 1)$$
$$S_7 = 60(127)$$
$$S_7 = 7620$$
Total produksi dari bulan pertama hingga bulan ketujuh adalah 7.620 unit.
Simulasi Kasus 3: Barisan Aritmetika Bertingkat (Deret Pangkat)
Beberapa pola bilangan mungkin terlihat bukan aritmetika pada pandangan pertama, tetapi memiliki beda yang berjenjang. Ini sering disebut barisan aritmetika tingkat dua.
Contoh: 2, 5, 10, 17, 26, ...
Beda Tingkat 1: 3, 5, 7, 9, ...
Beda Tingkat 2: 2, 2, 2, ...
Karena beda tingkat kedua konstan, ini adalah barisan tingkat dua. Rumus umumnya berbentuk kuadrat: Uₙ = an² + bn + c.
Untuk menemukan a, b, c kita menggunakan sistem persamaan khusus:
- 2a = Beda Tingkat 2
- 3a + b = Beda pertama Tingkat 1 (U₂ - U₁)
- a + b + c = Suku pertama (U₁)
Dari contoh di atas:
1. 2a = 2, maka a = 1.
2. 3(1) + b = 3, maka 3 + b = 3, sehingga b = 0.
3. 1 + 0 + c = 2, maka c = 1.
Rumus suku ke-n adalah: Uₙ = 1n² + 0n + 1 = n² + 1.
Cek: U₅ = 5² + 1 = 26. (Sesuai).
Gambar 3: Perbandingan Visual Pertumbuhan Barisan Aritmetika vs. Geometri.
5. Integrasi Konsep: Barisan dan Deret dalam Realitas
Pemahaman barisan dan deret sangat esensial dalam bidang keuangan, sains, dan teknologi. Berikut adalah beberapa contoh integrasi yang relevan:
5.1. Bunga Tunggal (Aritmetika)
Jika uang yang ditabung hanya mendapatkan bunga dari modal awal, pertumbuhannya akan linear, mengikuti pola barisan aritmetika. Jumlah uang pada akhir periode ke-n akan menjadi Uₙ, di mana bedanya (b) adalah bunga per periode.
5.2. Pembelahan Sel (Geometri)
Bakteri atau sel yang membelah diri menjadi dua setiap periode waktu tertentu akan menghasilkan pertumbuhan eksponensial yang mengikuti barisan geometri dengan rasio r = 2.
Contoh: Sebuah sel membelah diri menjadi dua setiap 20 menit. Jika awalnya ada 10 sel, berapa total sel setelah 2 jam (120 menit)?
Dalam 2 jam, ada 120 / 20 = 6 periode pembelahan. Total suku (n) adalah 6 + 1 = 7 (termasuk kondisi awal).
$$U_n = a \cdot r^{n-1}$$
$$U_7 = 10 \cdot 2^{7-1} = 10 \cdot 2^6 = 10 \cdot 64 = 640 \text{ sel}$$
5.3. Peluruhan Zat Radioaktif (Geometri)
Konsep barisan geometri juga berlaku untuk proses peluruhan, di mana jumlah zat berkurang secara eksponensial. Rasio (r) biasanya berupa pecahan, seperti 1/2 (konsep waktu paruh).
Dengan menguasai barisan aritmetika dan geometri serta turunannya, siswa telah memiliki fondasi kuat untuk melangkah ke materi matematika yang lebih kompleks, termasuk kalkulus dan statistika.